策梅洛-弗兰克尔集合论

策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory），含选择公理時常简写为 ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含選擇公理的則簡寫為ZF。

介绍

ZFC 构成自一个单一的基本本体论概念集合，和一个单一的本体论假定，就是在论域中所有的个体(就是所有数学对象)都是集合。有一个单一的基本二元关系集合成员关系；集合 a 是集合 b 的成员写为 a $\in$ b (通常读做 "a 是 b 的元素")。ZFC 是一阶理论；所以 ZFC 包括后台逻辑是一阶逻辑的公理。这些公理支配了集合的行为和交互。ZFC 是标准形式的公理化集合论。使用 ZFC 的大量的正在进行中的普通数学推导请参见 Metamath 在线计划。

在 1908 年，恩斯特·策梅洛提议了第一个公理化集合论，策梅洛集合论。这个公理化理论不允许构造序数；而多数“普通数学”不使用序数就被不能被开发，序数在多数集合论研究中是根本工具。此外，Zermelo 的一个公理涉及“明确性”性质的概念，它的操作性意义是有歧义的。在 1922 年，Abraham Fraenkel 和 Thoralf Skolem 独立的提议了定义“明确性”性质为可以在一阶逻辑中公式化的任何性质。从他们的工作促成了替代公理。Zermelo 集合论接受替代公理和正规公理，产生了被称呼为 ZF 的这个集合论。

向 ZF 增加选择公理产生了 ZFC。在数学成果要求选择公理的时候，有时明显的这么声明。这么单提出 AC 的原因是 AC 天生的，是非构造性的；它确立一个集合(选择集合)的存在，而不规定如何构造这个集合。所以使用 AC 证明的结果涉及尽管可以证明其存在(如果你不忠于构造主义本体论的话)，但可能永远都不能构造出来的集合。

ZFC 有无穷多个公理，因为替代公理实际上是公理模式。已知 ZFC 和 ZF 集合论二者都不能用有限数目个公理来公式化；这最先由 Richard Montague 证实。在另一方面，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以有限的公理化。NBG 的本体论同集合一样包括类；类是有成员但不是其他类的成员的实体。NBG 和 ZFC 是等价的集合论，在关于集合(就是说不以任何方式提及类)的任何定理在一个理论中可以证明就可以在另一个理论中证明的意义上。

依据哥德尔第二不完备定理，ZFC 的相容性不能在 ZFC 自身之内证明。ZFC 的广延等同于普通数学，所以 ZFC 的相容性不能在普通数学中证明。ZFC 的相容性可从弱不可及基数的存在而得出，它是其存在不能在 ZFC 中证明的某种东西。但是几乎没有人怀疑 ZFC 有什么未被发觉的矛盾；如果 ZFC 是不自洽的，早就该被發掘出来。这是确定无疑的: ZFC 免除了朴素集合论的三大悖论，罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。

文献中讨论过的 ZFC 的缺陷包括:

它比几乎所有普通数学所要求的程度还要强(Saunders MacLane 和 Solomon Feferman 这么认为)；
相对于其他集合论的公理化，ZFC 相对要弱。例如，它不允许全集(如新基础)或类(如 NBG)的存在；
Saunders MacLane (范畴论的缔造者之一)和其他人争论说任何公理化集合论对于实际上的数学工作方式而言都是不正当的。依据他的观点，数学不是关于抽象对象的搜集和它们的性质的学科，而是关于结构和结构保持的映射的学科。

公理

ZFC的公理有許多等價的公式^[1]。下列的公理集合是由丘嫩於1980年提出的。公理本身以一階邏輯來敘述，之中的句子只是用來增加對邏輯描述的直覺概念。

1. 外延公理

兩個集合相等，若它們有相同的元素。

\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].

這個公理的逆敘述可以由等式的代替性中得到。若背景邏輯不包含等式「=」，x=y 可以定義為如下公式的縮寫^[2]

\forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall z[x\in z\Leftrightarrow y\in z].

如此一來，外延公理可寫成：

\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)],

若x 和y 有相同的元素，則它們屬於同一個集合^[1]

2. 正規公理

每個非空集合x 都包含一個成員y ，使得x 和y 不相交。

\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].

3. 分類公理

設z 為一個集合，且 $\phi \!$ 為任一個描述z 內元素x 的特徵的性質，則存在z 的子集y，包含z 內滿足這個性質的x。這個「限制」可用來避免羅素悖論之類的悖論。更形式化地說，令 $\phi \!$ 為ZFC語言中的任一公式，具有 $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}\!$ 等自由變數（即y在 $\phi \!$ 內不是自由的），則

\forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow (x\in z\land \phi )].

這個公理是Z 的一部份，但在ZF 中就顯得多餘，因為它可以由替代公理和空集公理中導出。

由分類公理構成的集合通常使用集合建構式符號來標記。給定一集合z 和具有一自由變數x 的公式 $\phi (x)\!$ ，則由所有在z內，滿足 $\phi \!$ 的x 所組成的集合，標記為

\{x\in z:\phi (x)\}.

分類公理可以用來證明空集（標記為 $\varnothing$ ）的存在，只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如，設w 是一個已存在的集合，而空集可定義為

\varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}

.

若背景邏輯包含等式，也可定義空集為

\varnothing =\{u\in w\mid \lnot (u=u)\}

.

因此，空集公理可由此處的九個公理中導出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴w）。通常會以定義性擴展，將符號 $\varnothing$ 加至ZFC 語言中。

4. 配對公理

若x 和y 是集合，則存在一個集合包含x　和y 。

\forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z).

這個公理是Z 的一部份，但在ZF 中就顯得多餘，因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上導出。此類集合的存在性可由將無窮公理或冪集公理應用兩次至空集上得到。

5. 並集公理

對任一個集合 ${\mathcal {F}}$ ，總存在一個集合A，包含每個為 ${\mathcal {F}}.$ 的某個成員的成員的集合。

\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].

6. 替代公理

令 $\phi \!$ 是ZFC語言內的任意公式，其自由變數有 $x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}\!$ ，但B 在 $\phi \!$ 　則不是自由的。則：

\forall A\forall w_{1},\ldots ,w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.

較不形式地說，這個公理敘述：若一個可定義的函數f 的定義域為一集合，且對定義域的任一x，f(x) 也都是集合，則f 的值域會是一個集合的子集。這個限制被需要用來避免一些悖論。

7. 無窮公理

令 $S(x)\!$ 為 $x\cup \{x\}\!$ ，其中 $x\!$ 為某個集合，則存在一個集合X，使得空集 $\varnothing$ 為X的成員，且當一個集合y 為X 的成員時， $S(y)\!$ 也會是X的成員。

\exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].

較口語地說，存在一個有無限多成員的集合X。滿足無窮公理的最小集合X 為馮諾伊曼序數ω，這個序數也可想成是自然數的集合 $\mathbb {N}$ 。

8. 冪集公理

令 $z\subseteq x$ 為 $\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)$ 。對任一個集合x，皆存在一個集合y，為x的冪集的父集。x　的冪集為一個其成員為所有x 的子集的類。

\forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].

9. 良序定理

對任一集合X，總存在一個可良好排序X 的二元關係R。這意指著，R 是X上的全序關係，且X內每個非空子集在R 下都有一個最小元素。

\forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).

若給定前八個公理，就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令X 為一非空集合，則存在一從X 映射至X 內成員的聯集的函數（稱為「選擇函數」），可使得對所有的Y ∈ X 都會有f(Y) ∈ Y 。因為當X 為有限集合時，選擇函數的存在性很容易由前八個公理中證出，所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的，因為它只聲明一個選擇集合的存在，但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。

参见

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 對這些等價的公式的一個豐富但有點過時的討論，請見Fraenkel et al. (1973)
^ Hatcher 1982, p. 138, def. 1

文献

Abian, Alexander, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.
Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.
Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Levy, Azriel, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland.
Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.
Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Frankel, and Skolem bearing on ZFC.

外部链接

Metamath. An online project building a great deal of mathematics from first-order logic and ZFC. Principia Mathematica done right.
Stanford Encyclopedia of Philosophy: Set Theory -- by Thomas Jech.

[Fraenkel-1] 1.0 ^1.1 對這些等價的公式的一個豐富但有點過時的討論，請見Fraenkel et al. (1973)

[2] Hatcher 1982, p. 138, def. 1

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