介值定理

在數學中，介值定理的陳述是：

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的闭区间，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

直觀地比喻，這代表可以在紙上畫出一個連續函數 $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ 的圖形，而不讓筆離開紙面。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明，但是他的证明现在看来不是十分严格。

证明

我们证明第一种情况f(a) < u < f(b)；第二种情况也类似。

设S为[a, b]内所有x的集合，使得f(x) ≤ u。那么S是非空的，因为a是S的一个元素，且S是上有界的，其上界为b。于是，根据实数的完备性，最小上界c = sup S一定存在。我们来证明f(c) = u。

假设f(c) > u。那么f(c) − u > 0，因此存在δ > 0，使得当|x − c| < δ时，就有|f(x) − f(c)| < f(c) − u，因为f是连续函数。但是，这样一来，当|x − c| < δ时，就有f(x) > f(c) − (f(c) − u) = u（也就是说，对于(c − δ, c + δ)内的x，都有f(x) > u）。因此c − δ是S的一个上界，与我们假设c是最小上界以及c − δ < c矛盾。

假设f(c) < u。根据连续性，存在一个δ > 0，使得当|x − c| < δ时，就有|f(x) − f(c)| < u − f(c)。那么对于(c − δ, c + δ)内的x，都有f(x) < f(c) + (u − f(c)) = u，因此存在大于c的x，使得f(x) < u，这与c的定义矛盾。