介值定理

在數學中，介值定理的陳述是：

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的閉區間，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

直觀地比喻，這代表可以在紙上畫出一個連續函數 $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ 的圖形，而不讓筆離開紙面。

介值定理首先由伯納德·波爾查諾提出和證明，但是他的證明現在看來不是十分嚴格。

證明

我們證明第一種情況f(a) < u < f(b)；第二種情況也類似。

設S為[a, b]內所有x的集合，使得f(x) ≤ u。那麼S是非空的，因為a是S的一個元素，且S是上有界的，其上界為b。於是，根據實數的完備性，最小上界c = sup S一定存在。我們來證明f(c) = u。

假設f(c) > u。那麼f(c) − u > 0，因此存在δ > 0，使得當|x − c| < δ時，就有|f(x) − f(c)| < f(c) − u，因為f是連續函數。但是，這樣一來，當|x − c| < δ時，就有f(x) > f(c) − (f(c) − u) = u（也就是說，對於(c − δ, c + δ)內的x，都有f(x) > u）。因此c − δ是S的一個上界，與我們假設c是最小上界以及c − δ < c矛盾。

假設f(c) < u。根據連續性，存在一個δ > 0，使得當|x − c| < δ時，就有|f(x) − f(c)| < u − f(c)。那麼對於(c − δ, c + δ)內的x，都有f(x) < f(c) + (u − f(c)) = u，因此存在大於c的x，使得f(x) < u，這與c的定義矛盾。