唯一分解整環

在數學中，唯一分解整環（Unique factorization domain）是使得每個其中元素都能唯一表成素元之積的整環，也就是滿足算術基本定理的整環。唯一分解整環通常以英文縮寫 UFD 表示。

定義

一個唯一分解整環乃是一整環 $R$，使得其中每個非零不可逆元 $x$ 皆可表為不可約元（或稱既約元）的積：

$x=p_{1}\cdots p_{n}$

此表法在至多差一個可逆元的意義下唯一：若 $x=p_{1}\cdots p_{n}=q_{1}\cdots q_{m}$，其中 $p_{i},q_{j}$ 皆為不可約元，則 $m=n$，而且在重排下標後存在可逆元 $u_{i}\in R^{\times }$ 使得 $p_{i}=u_{i}q_{i}$。

另一個方便的等價定義如下：一個唯一分解整環乃是一整環 $R$，使得其中每個非零不可逆元皆可表成素元的積。

例子

• 主理想整環，特別是歐幾里得整環。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整環。
• 域也是唯一分解整環。
• 若 $R$ 為唯一分解整環，則多項式環 $R[X]$ 亦然。由此可知任意有限個變元的多項式環 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 也是唯一分解整環，但是它們一般來說並非主理想整環。
• 複流形（例如 $\mathbb {C}$）上一點的局部環是唯一分解整環。
• 正則局部環皆為唯一分解整環。

以下給出幾個反例：

• 環 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 並非唯一分解環，因為

$(6)=(2)(3)=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$

• 令 $R$ 為任一交換環，則 $R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ 非唯一分解整環；當 $R$ 為域時，這在幾何上對應到一個奇點。

性質

整數的一些概念可以推廣至唯一分解整環：

• 在任意整環中，素元必為不可約元；在唯一分解整環中，不可約元必為素元。
• 任意有限個元素有最大公因數與最小公倍數，它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。

等價條件

• 一個諾特整環是唯一分解整環若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想（即：由單個元素生成）。
• 一個整環是唯一分解整環若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有最小公倍數。
• 一個整環是唯一分解整環若且唯若其類群為平凡群。

文獻

• I. N. Herstein, Topics in Algebra (1975), Wiley. ISBN 0-471-01090-1
• H. Matsumura, Commutative algebra (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9