完全偏序
在數學中，有向完全偏序和完全偏序是特殊種類的偏序集合。分別簡寫為 dcpo 和 cpo，它們特徵化自特定特定完備性性質。dcpos 和 cpos 在序理論中考慮並主要應用於理論計算機科學和指稱語義。
定義
一個偏序集合是有向完全偏序(dcpo)，如果它的每個有向子集都有上確界。完全偏序(cpo)是帶有最小元素的 dcpo。在文獻中，dcpos 有時分類為 sup-完全偏序集合，或混淆為「cpo」。帶有最小元素的 dcpo 有時叫做尖角(pointed) dcpo 或尖角 cpo。
要求有向上確界的存在可能推動自把有向集合看作一般化的逼近序列把上確界看作各自(逼近)計算的極限。關於在指稱語義的上下文中這種直覺的詳情請參見域理論。
有向完全偏序集合的對偶概念叫做過濾完全偏序。但是這個概念在實踐中不常用，因為你通常可以明確的在這個對偶的次序上工作。
性質和有關文章
有向完全性以各種方式關聯於其他完備性概念。這在完備性 (序理論)中討論。有向完全性自身在其他序理論研究中是經常出現的非常基本的性質。例如，涉及有向完全性的定理可以在連續偏序集合、代數偏序集合和Scott拓撲文章中討論。在 dcpos 之間的函數經常要求是單調的甚至是Scott連續性的。
例子
- 對於任何偏序集合，所有非空濾子的集合，用子集包含排序，是 dcpo，甚至是 cpo 如果這個偏序集合有最大元素。與空濾子在一起它也保證是 cpo。如果次序是交半格(甚至是格)，則這個構造(包括空濾子)實際上生成一個完全格。
- 考慮在某個集合 S 上所有偏函數的集合，偏函數是只在(它的域) S 的某些子集上有定義的函數。對於兩個這種函數 f 和 g，定義 f ≤ g 若且唯若，f 的域是 g 的域的子集，並且 f 和 g 的值在對兩個函數都有定義的所有輸出上一致。在這種情況下，我們稱 g 擴展了 f。這個次序是 cpo，這裏的最小元素是無處定義函數(有空域)。事實上，≤ 也是有界完全性的。這個例子還展示了為什麼不總是自然的有一個最大元素。
- 所有有限偏序集合都是有向完全的，所有帶有最小元素的有限偏序集合都是 cpo。
- 所有完全格都是有向完全的並因此為 dcpos 提供了眾多例子。