平均曲率

在微分几何中，一个曲面 $S$ 的平均曲率（mean curvature）$H$，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

定义

令 $p$ 是曲面 $S$ 上一点，考虑 $S$ 上过 $p$ 的所有曲线 $C_{i}$。每条这样的 $C_{i}$ 在 $p$ 点有一个伴随的曲率 $K_{i}$。在这些曲率 $K_{i}$ 中，至少有一个极大值 $\kappa _{1}$ 与极小值 $\kappa _{2}$，这两个曲率 $\kappa _{1},\kappa _{2}$ 称为 $S$ 的主曲率。

$p\in S$ 的平均曲率是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章)，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .$

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

$H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,$

这里 $E,F,G$ 是第一基本形式的系数，$L,M,N$ 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章)，一个超曲面 $T$ 的平均曲率为：

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .$

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 $\times {\frac {1}{n}}$。

另外，平均曲率 $H$ 可以用共变导数 $\nabla$ 写成

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,$

这里利用了高斯-Weingarten 关系，$X(x,t)$ 是一族光滑嵌入超曲面，${\vec {n}}$ 为单位法向量，而 $g_{ij}$ 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 $S$ 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

$2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,$

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 $z=S(x,y)$，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

${\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

如果曲面还是轴对称的，满足 $z=S(r)$，则

$2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}}\ .$

流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .$

这出现于杨-拉普拉斯方程中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 $H_{f}$；两个曲率等于小滴半径的倒数 $\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}$。

极小曲面

Costa 极小曲面示意图

主条目：极小曲面

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面（Costa's mimimal surface，1982年）与 Gyroid（Gyroid，1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006，4.6节)。

参见

• 高斯曲率
• 平均曲率流
• 逆平均曲率流
• 面积公式第一变分

参考文献

• 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
• 陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9