康托爾悖論

在數學中，康拖爾悖論是集合論的一個定理，即沒有最大的基數，所以「無限大小」的搜集自身是無限的。進一步的，從這個事實得出這個搜集不是集合而是真類；在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合論中從這個事實得出大小限制公理，即這個真類必定雙射於所有集合的集合。所以，不只是有無限多個無限，而是這個無限大於無限的任何枚舉。

這個悖論命名以康拖爾，他在在1899年(或在1895年到1897年之間)首先提出了它。象多數數學悖論一樣它實際上不是矛盾，而是在關於無限本質和集合概念的情況下錯誤直覺的體現。換個方式說，它在樸素集合論中的確是悖論並證實了這個理論對數學需要是不充足的。NBG 集合論解決了這個悖論使它適合作為替代者。

陳述和證明

為了陳述這個悖論必須理解接納排序的基數，因此你可以談論一個事物大於或小於另一個。則康拖爾悖論是:

定理:沒有最大的基數。

這個事實上是關於一個集合的冪集的勢的康拖爾定理的直接結論。

證明: 將定相反情況，並設 C 為最大基數。則(在馮·諾伊曼基數公式化中) C 是一個集合因此有冪集 2^C通過康拖爾定理，它有嚴格的大於 C 的勢。但是根據定義 C 的勢是 C 自身，所以我們展示了一個大於被假定為最大基數的 C 的勢(就是 2^C)。有這個矛盾達成了這樣的基數不存在。

參見 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》，其中討論了這不是悖論和康拖爾不認為這是悖論的想法。

討論和結論

因為基數是通過序數標定(indexing)而是良序的，(參見基數的形式定義)，這也確立了沒有最大序數；反過來，後者陳述蘊涵了康托爾悖論。通過應用這個標定到 Burali-Forti悖論我們還結論出基數是真類而不是集合，而(至少在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合論中)從它得出沒有在基數的類和所有集合的類之間的雙射。因為所有集合是後者這個類的的子集，而所有勢都是一個集合的勢(通過定義!)這直覺的意味着基數的搜集的「勢」大於任何集合的勢: 它比任何真無窮更加無窮。這是康拖爾悖論的悖論本質。

歷史註釋

儘管通常認定康拖爾是第一個提出基數集合的這個性質的人，有些數學家認定這個貢獻是伯蘭特·羅素做出的，他在1899年或1901年定義了類似的定理。

來源

Anellis, I.H. Drucker, Thomas , 編. "The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic. Cambridge, Mass.: Birkäuser Boston. 1991: 33–46.
Moore, G.H. and Garciadiego, A. Burali-Forti's paradox: a reappraisal of its origins. Historia Math: 319–350.

參見

外部連結