二维傅立叶变换

傅立叶变换（英语：Fourier transform）是一种帮助我们分析讯号频域成分的积分变换，详细内容详见傅立叶变换一文。一般教科书所教的通常是一维的傅立叶转换，但我们也可以将傅立叶转换推广到多维的空间。而二维傅立叶变换即是由一维傅立叶变换推广而来，近几十年来常被运用在影像处理上。其他相关的数学工具，例如二维余弦转换、二维滤波器……等等，均是建立在二维傅立叶转换的概念上而得到的。

二维傅立叶级数

考虑一个信号二维的信号，$s(t_{1},t_{2})$，其中$t_{1},t_{2}$为两个独立变数，且$s(t_{1},t_{2})$满足下列方程式:

$s(t_{1},t_{2})=s(t_{1}+kT_{1},t_{2}+lT_{2}),$ for all $t_{1},t_{2}$, 其中k,l为整数

也就是说$s(t_{1},t_{2})$在$t_{1}-t_{2}$平面为周期函数，在$t_{1}$方向的周期为$T_{1}$，在$t_{2}$方向的周期为$T_{2}$，而信号的傅立叶级数为

$s(t_{1},t_{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{mn}e^{j(m\omega _{1}t_{1}+n\omega _{2}t_{2})},\ \omega _{1}=2\pi /T_{1},\omega 2=2\pi /T_{2}$

而$a_{mn}$可借由积分求得

$a_{mn}={\frac {1}{T_{1}T_{2}}}\int _{0}^{T_{1}}\int _{0}^{T_{2}}s(t_{1},t_{2})e^{-jm\omega _{1}t_{1}}e^{-jn\omega _{2}t_{2}}\,dt_{1}\,dt_{2}$

二维连续傅立叶变换

对于平面上的连续周期信号，我们可以使用二维傅立叶级数来分析，但对于平面上的连续非周期信号$s(t_{1},t_{2})$，我们则需使用二维连续傅立叶变换。

二维连续傅立叶变换定义为

$S(j\omega _{1},j\omega _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }s(t_{1},t_{2})e^{j(\omega _{1}t_{1}+\omega _{2}t_{2})}\,dt_{1}\,dt_{2}$

二维连续傅立叶逆变换定义为

$s(t_{1},t_{2})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }S(j\omega _{1},j\omega _{2})e^{j(\omega _{1}t_{1}+\omega _{2}t_{2})}\,d\omega _{1}\,d\omega _{2}$

为了方便，我们会将一些变数以向量的形式表示

${\overrightarrow {t}}=(t_{1},t_{2})^{t},{\overrightarrow {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2})^{t},{\overrightarrow {\omega }}^{t}{\overrightarrow {t}}=\omega _{1}t_{1}+\omega _{2}t_{2}$

则上述两式则可表示为

$S(j{\overrightarrow {\omega }})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }s({\overrightarrow {t}})e^{j{\overrightarrow {\omega }}^{t}{\overrightarrow {t}}}\,d{\overrightarrow {t}},\ \$ $s({\overrightarrow {t}})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }S(j{\overrightarrow {\omega }})e^{j{\overrightarrow {\omega }}^{t}{\overrightarrow {t}}}\,d{\overrightarrow {\omega }}$

二维离散傅立叶变换

一般在作影像处理的影像大多不是连续信号，而对于平面上的不连续信号，我们则需使用二维离散傅立叶变换。

假设输入的影像s[n,m]水平方向长度是N，垂直方向长度是M

二维离散傅立叶变换定义为

$S(j\omega _{1},j\omega _{2})=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n,m]e^{-j(\omega _{1}n+\omega _{2}n)}$

二维离散傅立叶逆变换定义为

$s[n,m]={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }S(j\omega _{1},j\omega _{2})e^{j(\omega _{1}n+\omega _{2}n)}\,d\omega _{1}\,d\omega _{2}$

同样为了方便，我们可将上述两式改为向量形式

$S(j{\overrightarrow {\omega }})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }s({\overrightarrow {n}})e^{j{\overrightarrow {\omega }}^{t}{\overrightarrow {n}}}\,d{\overrightarrow {n}},\ \$ $s({\overrightarrow {n}})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }S(j{\overrightarrow {\omega }})e^{j{\overrightarrow {\omega }}^{t}{\overrightarrow {n}}}\,d{\overrightarrow {\omega }}$

其中,${\overrightarrow {n}}=(n,m)^{t}$

基本性质

下列性质我们以二维连续傅立叶变换来说明:

分离性(Separability)

假如$s(t_{1},t_{2})$可分解为$f(t_{1})g(t_{2})$，因为自然指数部分也可分解则

$S(j\omega _{1},j\omega _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }s(t_{1},t_{2})e^{j(\omega _{1}t_{1}+\omega _{2}t_{2})}\,dt_{1}\,dt_{2}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1})e^{j\omega _{1}t_{1}}\,dt_{1}\int _{-\infty }^{\infty }g(t_{2})e^{j\omega _{2}t_{2}}\,dt_{2}=F(j\omega _{1})G(j\omega _{2})$

称为分离性。

对称性

假设$s({\overrightarrow {t}})$为实数，则$S(j{\overrightarrow {\omega }})=S^{*}(-j{\overrightarrow {\omega }})$

假设$s({\overrightarrow {t}})$为实数且偶对称，则$S(j{\overrightarrow {\omega }})$为实数且偶对称

假设$s({\overrightarrow {t}})$为实数且奇对称，则$jS(j{\overrightarrow {\omega }})$为实数且奇对称

空间频率

一维傅立叶转换常被用来分析随时间变化的信号，并得到信号的频域成分。然而，对一张的静态的图片而言，虽然没有时间的概念在里面，却引入了空间频率来取代传统一维空间中的频率。

对传统随时间变化的信号而言，以声音为例，低频成分的物理意义即为声音的低音，而高频成分的物理意义则是声音的高音。但对空间频率而言，空间频率中的低频成分指的是图片中颜色缓慢变化的部分。相对的，空间频率中的高频成分则是指图片中颜色迅速变化的部分，比方说物体的边线。

我们可以用二维的滤波器分别将图片的低频与高频成分滤掉以帮助我们了解空间频率的概念。我们可以发现，当图片通过低通滤波器后，被滤出来的图片是一个模糊的影像，这就是图片的低频成分。而当图片通过高通滤波器后，被滤出来的图片仅剩下边缘，这就是图片的高频成分，一般而言，图片在频域的能量大多集中在低频。

应用

二维傅立叶变换的作用是将影像由空域变换到频域，并对于影像不同频段的成分进行分析与处理，所以二维傅立叶变换在影像处理领域有着举足轻重的地位，其主要的应用为

• 影像分析
• 影像滤波
• 影像重建
• 影像压缩

参考资料

Judith C. Brown, Calculation of a constant Q spectral transform, J. Acoust. Soc. Am., 89(1):425–434, 1991.