龐加萊猜想
| 千禧年大獎難題 |
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龐加萊猜想最早是由法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的數學方面七大千禧年難題之一。2006年確認由俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼（俄語：Григорий Яковлевич Перельман，1966年6月13日出生）完成最終證明，他也因此在2010年獲得菲爾茲獎，但並未現身領獎[1][2]。
基本描述
上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。
該猜想是一個屬於代數拓撲學領域的具有基本意義的命題，對「龐加萊猜想」的證明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響。
證明歷史
20世紀
這個問題曾經被擱置了很長時間，直到1930年懷特海（J. H. C. Whitehead）首先宣佈已經證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。懷特海提出了一些有趣的三流形實例，其原型現在稱為懷特海流形。
1950和1960年代，又有許多著名的數學家包括R·H·賓（R. H. Bing）、沃夫岡·哈肯（Wolfgang Haken）、愛德華·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos聲稱得到了證明，但最終都發現證明存在致命缺陷。1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對於低維拓撲的發展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名，但是證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。1981年美國數學家麥克·傅利曼（Michael Freedman）證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。
1982年，理查德·漢密爾頓引入了「瑞奇流」的概念，並以此證明了幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此後的幾年中，他進一步地發展了此方法，後來被佩雷爾曼的證明所使用。
21世紀
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在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之後，先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密歇根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。據報道[3]，2006年6月3日，丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平第一個給出了龐加萊猜想的完全證明[4]。
2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但佩雷爾曼拒絕接受該獎[5]。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
2010年3月18日，克雷數學研究所對外公佈，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼因為破解龐加萊猜想而榮膺千禧年大獎[6][7]。
《紐約客》專文及相關爭議
2006年8月28日出版的《紐約客》雜誌發表西爾維亞·娜莎和大衛·格魯伯的長文《流形的命運——傳奇問題以及誰是破解者之爭》。該文介紹了佩雷爾曼等人的工作並描畫了「一個令人厭惡的丘成桐的形象，暗示他為他的學生曹懷東和他支持的朱熹平的工作宣傳了過多的功勞。」[8]。此文發表後，引發了很大爭議。包括漢密爾頓在內的多名數學家發表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價，丘成桐也表示可能採取法律行動。
一名加州理工學院的研究者指出曹、朱論文[4]中引理7.1.2與克萊納和洛特2003年發表的成果[9]幾乎完全相同。據此，洛特指責曹和朱兩人有剽竊的行為。此後，曹懷東和朱熹平在原刊發表糾錯聲明，確認了此引理是克萊納和洛特的成果，解釋沒有指明出處是由於編輯上的差錯，並為此向兩位原作者致歉。
註釋
- ^ Последнее "нет" доктора Перельмана, Interfax 1 July 2010
- ^ Malcolm Ritter. Russian mathematician rejects $1 million prize. AP on PhysOrg. 2010-07-01 [2011-05-15].
- ^ 百年數學難題被破解 中國科學家「最後封頂」（新聞）
- ^ 4.0 4.1 Asian Journal of Mathematics (June 2006)
- ^ 數學隱士榮獲千禧年大獎 會否領取百萬美元獎金成為懸疑
- ^ First Clay Mathematics Institute Millennium Prize Announced Today
- ^ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman
- ^ [1] 《科學》2006年終專題文章 － 丹娜·麥肯錫，翻譯原載於新語絲網站
- ^ 原作在 http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html, 現移動到 http://www.math.lsa.umich.edu/~lott/ricciflow/perelman.html. 克萊納和洛特的結果最終發表於arXiV.org , 2006年5月25日。
相關資訊
- Bruce Kleiner, John Lott. Notes on Perelman's papers. Geometry and Topology. 2008, 12 (5): 2587–2855. arXiv:math/0605667
. doi:10.2140/gt.2008.12.2587. - Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture. December 3, 2006. arXiv:math.DG/0612069
|class=被忽略 (幫助). - John W. Morgan, Gang Tian. Ricci Flow and the Poincaré Conjecture. 2006. arXiv:math/0607607
|class=被忽略 (幫助).: Detailed proof, expanding Perelman's papers. - O'Shea, Donal. The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe. Walker & Company. December 26, 2007. ISBN 978-0-8027-1654-5.
- Perelman, Grisha. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. November 11, 2002. arXiv:math.DG/0211159
|class=被忽略 (幫助). - Perelman, Grisha. Ricci flow with surgery on three-manifolds. March 10, 2003. arXiv:math.DG/0303109
|class=被忽略 (幫助). - Perelman, Grisha. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. July 17, 2003. arXiv:math.DG/0307245
|class=被忽略 (幫助). - Szpiro, George. Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume. July 29, 2008. ISBN 978-0-452-28964-2.
- John Stillwell. Poincaré and the early history of 3-manifolds. Bulletin of the American Mathematical Society. 2012, 49 (4): 555–576.
參見
外部連結
- 流形的命運——傳奇問題以及誰是破解者之爭, 西爾維亞·娜莎、大衛·格魯伯，原載於《紐約客》。原文
- 年度重大突破：龐加萊猜想--終於被證明，一個世紀數學問題的解決變成一場喜憂參半的獎勵，《科學》2006年終專題文章 - 丹娜·麥肯錫。 原文