介值定理

在數學中，介值定理的陳述是：

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的閉區間，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

直觀地比喻，這代表可以在紙上畫出一個連續函數 $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ 的圖形，而不讓筆離開紙面。

介值定理首先由伯納德·波爾查諾提出和證明，但是他的證明現在看來不是十分嚴格。

證明

我們證明第一種情況 $f(a)<u<f(b)$ ；第二種情況也類似。

設 $S$ 為 $[a,b]$ 內所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那麼 $S$ 是非空的，因為 $a$ 是 $S$ 的一個元素，且 $S$ 是上有界的，其上界為 $b$ 。於是，根據實數的完備性，最小上界 $c=supS$ 一定存在。我們來證明 $f(c)=u$ 。

假設 $f(c)>u$ 。那麼 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得當 $\left|x-c\right|<\delta$ 時，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因為 $f$ 是連續函數。但是，這樣一來，當 $\left|x-c\right|<\delta$ 時，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是說，對於 $(c-\delta ,c+\delta )$ 內的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因此 $c-\delta$ 是 $S$ 的一個上界，與我們假設 $c$ 是最小上界以及 $c-\delta <c$ 矛盾。

假設 $f(c)<u$ 。根據連續性，存在一個 $\delta >0$ ，使得當 $\left|x-c\right|<\delta$ 時，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那麼對於 $(c-\delta ,c+\delta )$ 內的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大於 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，這與 $c$ 的定義矛盾。