结构常数

群论中的结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号（对易关系）。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

定义

给定$r$维李群$G$上的$r$个线性无关的右不变向量场$X_{i}(1\leq i\leq r)$，它们构成了$G$的李代数的一组基底。设

$[X_{i},X_{j}]=C_{ij}^{k}X_{k}$，

其中$[,]$表示李括号。可以证明$C_{ij}^{k}$是一组常数，它们称为李群$G$的结构常数。

性质

李群$G$的结构常数满足反对称性

$C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}$，

以及Jacobi恒等式

$C_{ij}^{k}C_{lm}^{i}+C_{il}^{k}C_{mj}^{k}+C_{im}^{k}C_{jl}^{k}=0$。

反过来，如果有一组常数$C_{ij}^{k},1\leq i,j,k\leq r$满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。