洛希極限

洛希極限（Roche limit）是一個天體自身重力的约束与第二個天體对他造成的潮汐力相等时的距離。當两个天體的距離少於洛希極限，天體就會傾向碎散，繼而成為第二個天體的環。它以首位計算這個極限的人愛德華·洛希命名。

洛希極限常用于行星和它周边的衛星。有些天然和人工的衛星，儘管它們在其它星體的洛希極限內，卻不至成碎片，因為它們除了自身引力约束之外，還受到其他的力。在這個情況，在衛星表面的物件有可能被潮汐力扯離衛星，要視乎物件在衛星表面哪部分——潮汐力在兩個天體中心之間的直線最強。

一些內部引力較弱的物體，例如彗星，可能在穿越洛希極限內時化成碎片。蘇梅克－列維9號彗星就是好例子。它在1992年經過木星時分成碎片，1994年落在木星上。

現時所知的行星環都在洛希極限之內。

洛希極限的計算方法

設洛希極限為 $d$ 。

對於一個完全剛體、圓球形的衛星，假設其物質都是因為重力才合在一起的，他的宗主行星亦是圓球形，並忽略其他因素如潮汐變形及自轉。

d=R\left(2\times \;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}

其中 $R$ 是衛星的宗主星體的半徑， $\rho _{M}$ 是該星體的密度， $\rho _{m}$ 是衛星的密度。

對於是流體的衛星，潮汐力會拉長它，令它變得更易碎裂。

d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}

由於有黏度、摩擦力、化學键等影響，大部分衛星都不是完全流體或剛體，其洛希極限都在這兩個界限之間。

如果一個剛體衛星的密度是所環繞的星體的密度兩倍以上（例如一個巨大的氣體行星跟剛體衛星；對於流體衛星來說，則要約14.2倍以上)， $d<R$ ，洛希極限會在主星的星體之內，即是說這個衛星永遠都不會因為主星的引力而碎裂。

刚体的洛希极限

公式的導出

假設除了引力之外沒有其他力，且衛星和他的宗主行星的形狀是圓球。

考慮衛星表面的最接近行星的細質量 $u$ ，有兩股力作用在 $u$ 上：衛星的引力和行星的引力。基於衛星在行星引力場內自由降落，潮汐力不過是行星引力同義詞。

設 $F_{G}$ 為衛星作用在 $u$ 上的引力，根據牛頓引力定律， $F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}$ 。

設 $d$ 為衛星和行星中心的距離， $R$ 為行星半徑， $F_{T}$ 為行星作用在 $u$ 上的潮汐力，

F_{T}={\frac {2GMur}{d^{3}}}

。

若衛星剛好在洛希極限， $F_{G}=F_{T}$ ，即

{\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}

。

由此即可計出 $d=r(2M/m)^{1/3}$ 。

不想衛星半徑出現在公式中，便將其半徑以密度等變數寫出。

行星的質量可寫成：

M=4\pi \rho _{M}R^{3}/3

衛星的質量可寫成：

m=4\pi \rho _{m}r^{3}/3

代入上面的洛希極限的公式，得

d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}

簡化成：

d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}

考虑惯性离心力的情况

Since a close satellite will likely be orbiting in a nearly-circular orbit with synchronous rotation, let us consider how the centrifugal force from rotation will affect the results. That force is （由于卫星在主星近处的近圆轨道运行，把卫星视作同步自转简化分析，可以看到自转产生的离心力的影响。）

（公式的推导，请参阅本条目 2015年2月3日被删除的历史版本中的有关内容）

这个离心力是: $F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}$

and it gets added to F_T. Doing the force-balance calculation yields this result for the Roche limit:
（这个力加上，得到的洛希极限是：）

d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}

..........(1)

or : $d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442\;R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$ ..........(2)

把 $m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}$ ( $r$ 是卫星的半径) 代入消去 $\rho _{m}$ 由（1）式可以得到另一个公式:

d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}

.......... (3)

这样，我们只需要测出主星的质量和估计从属星的密度，就可以简单精确地得出天体在主星系统里的洛希极限了。

（请参阅英文维基有关条目： https://en.wikipedia.org/wiki/Roche_limit ）

洛希极限、希尔球与行星半径

当行星到达洛希极限时: $R_{\mathrm {Roche} }={\sqrt[{3}]{\frac {9M}{4\pi \rho _{m}}}}$

行星的最大希尔球达到L1(L2)点： $R_{\mathrm {Hill} }=R_{\mathrm {Roche} }{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$ ，这是希尔球的直观表达式 ..........(4)

两式合并简化，得： $R_{\mathrm {Hill} }={\sqrt[{3}]{{\frac {9M}{4\pi \rho _{m}}}.{\frac {m}{3M}}}}=r$
行星表面与洛希瓣合一(或说行星充滿了洛希球)!

行星不能再吸积物质，或者更甚, 会失去表面的物件。这就是洛希极限、希尔球和洛希瓣的物理意义。

公式（2)也可以变为： $R_{\mathrm {Roche} }=R_{secondary}{\sqrt[{3}]{\frac {3M}{m}}}=R_{\mathrm {Hill} }{\sqrt[{3}]{\frac {3M}{m}}}$ ，完美的数学对称。
这就是洛希极限与希尔球的天文意义。

更低轨道的洛希极限

当行星到 $R_{\mathrm {Roche} }={\sqrt[{3}]{\frac {9M}{4\pi \rho _{m}}}}$ 这个达洛希极限时，行星的半径与洛希瓣、最大希尔球重合。

这时候行星的大气、表面活动物会被剥离，行星也不能吸收任何微细物体。
但是，在同样的轨道上，如果有两个大小相若的物体(m1≈m2)互相接近，两个物体的洛希瓣会互相影响，
会在两物体的质心形成一个新的洛希瓣、希尔球,大约与质量为m1+m2的物体的洛希瓣、希尔球等效。
如果这两个物体质量相差不大（假设其密度一样），其半径相差也不大，约为原物体半径的0.8倍，两个物体的质心会落在等效洛希瓣、希尔球内。
如果这两个物体的距离不超过0.4r，
或这两个物体的质量比不超过1:1.5, 这两个行星都有可能由引力结合起来
否则他们将互相远离

由此可得，让两个质量、密度、尺寸相差不大的物体没有可能产生引力吸积的洛希极限为： $R_{\mathrm {Roche} }={\sqrt[{3}]{\frac {9M}{8\pi \rho _{m}}}}$

流體的洛希極限公式

洛希給出的基於流體洛希極限的公式是：

d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}

更精確的公式是：

d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}

$c/R$ 是行星的扁度。

公式的推導過程較複雜，此處不予給出。

洛希极限的例子

温磬提示：“以下是一组静态的极限应用，在英文维基里是垃圾级文字，请审慎判断是否可以采信。”
https://en.wikipedia.org/wiki/Roche_limit

以太陽系內的星體為例：

天體	平均密度（kg/m³）	赤道半徑（m）
太陽	1,400	695,000,000
木星	1,330	71,500,000
地球	5,515	6,376,500
月球	3,340	1,737,400

彗星的平均密度是500公斤/米³

使用以上數據，計算流體及剛體洛希極限。R表示它們和真正的洛希極限之比。

－	衛星	剛體洛希極限		流體洛希極限
－	衛星	距離（米）	R	距離（米）	R
地球	月球	9,495,665	1.49	18,261,459	2.86
地球	彗星	17,883,432	2.80	34,392,279	5.39
太陽	地球	554,441,389	0.80	1,066,266,402	1.53
	木星	890,745,427	1.28	1,713,024,931	2.46
	月球	655,322,872	0.94	1,260,275,253	1.81
	彗星	1,234,186,562	1.78	2,373,509,071	3.42

太陽系的行星和其衛星之間的真實洛希極限和計算洛希極限如下表所示：

－	衛星	軌道半徑：洛希極限
－	衛星	剛體	流體
太陽	水星	104:1	54:1
地球	月球	41:1	21:1
火星	火衛一	172%	89%
火星	火衛二	451%	233%
木星	木衛十六	186%	93%
	木衛十五	220%	110%
	木衛五	228%	114%
	木衛十四	260%	129%
土星	土衛十八	174%	85%
	土衛十五	182%	89%
	土衛十六	185%	90%
	土衛十七	185%	90%
	土衛十一	198%	97%
天王星	天衛六	155%	79%
	天衛七	167%	86%
	天衛八	184%	94%
	天衛九	192%	99%
海王星	海衛三	140%	72%
	海衛四	149%	77%
	海衛五	153%	78%
	海衛六	184%	95%
	海衛七	220%	113%

参见

希尔球（Hill sphere）
洛希瓣（Roche lobe）
意大利粉化（Spaghettification [[1]]，一個更為極端的朝汐力扭曲）

參考資料

Édouard Roche: La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol.1 (1847-50) p.243

外部連結

詳細的導出計算洛希極限的教學