範數

擁有不同範數的單位圓

範數，是具有「長度」概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間$\mathbb {R} ^{2}$就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義

假設V是域F上的向量空間；V的半範數是一個函數$p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)$，滿足：

$\forall a\in F,\forall u,v\in V$,

1. $p(v)\geq 0$（正值性）
2. $p(av)=|a|p(v)$（正值齊次性）
3. $p(u+v)\leq p(u)+p(v)$ （三角不等式）

範數是一個半範數加上額外性質：

4. $p(v)=0$,若且唯若$v$是零向量（正定性）

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

例子

• 所有範數都是半範數。
• 平凡半範數,即$p(x)=0,\forall x\in V$。
• 絕對值是實數集上的一個範數。
• 對向量空間上的線性型f可定義一個半範數：x → |f(x)|。

歐幾里德範數

主條目：歐幾里德距離

在n維歐幾里德空間Rⁿ上，向量x =(x₁, x₂, ..., x_n)的最符合直覺的長度由以下公式給出

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

根據畢氏定理，它給出了從原點到點x之間的（通常意義下的）距離。 歐幾里德範數是Rⁿ上最常用的範數，但正如下面舉出的，Rⁿ上也可以定義其他的範數。然而，以下定義的範數都定義了同一個拓撲結構，因此它們在某種意義上都是等價的。

在一個n維複數空間Cⁿ中，最常見的範數是：

$\|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.$

以上兩者又可以以向量與其自身的內積的平方根表示：

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},$

其中x是一個列向量([x₁; x₂; ...; x_n])，而x*表示其共軛轉置。

以上公式適用於任何內積空間，包括歐式空間和複空間。在歐幾里得空間裡，內積等價於點積，因此公式可以寫成以下形式：

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$

特別地，Rⁿ⁺¹中所有的歐幾里得範數為同一個給定正實數的向量的集合是一個n維球面。

複數的歐幾里得範數

如果將複數平面看作歐幾里得平面R²，那麼複數的歐幾里得範數是其絕對值（又稱為模）。這樣，我們可把x + iy視為歐幾里得平面上的一個向量，由此，這個向量的歐幾里得範數即為${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$（最初由歐拉提出）。

參見

• 內積
• 賦範向量空間
• 矩陣範數
• 曼哈頓距離