二项式系数

二项式系数可排列成杨辉三角形。

二项式系数在数学上是二项式定理中的系数族。其必然为正整数，且能以两个非负整数为参数确定，此两参数通常以n和k代表，并将二项式系数写作${\tbinom {n}{k}}$，亦即是二项式幂(1 + x) ⁿ的多项式展式中，x ^k项的系数。如将二项式系数的n值顺序排列成行，每行为k值由0至n列出，则构成帕斯卡三角形。

此数族亦常见于其他代数学领域中，尤其是组合数学。任何有n个元素的集合，由其衍生出拥有k个元素的子集，即由其中任意k个元素的组合，共有${\tbinom {n}{k}}$个。故此${\tbinom {n}{k}}$亦常读作“n选取k”。二项式系数的特性使表达式${\tbinom {n}{k}}$的定义不再局限于n和k均为非负整数及k ≤ n，然此等表达式仍被称为二项式系数。

虽然此数族早已被发现（见帕斯卡三角形），但表达式${\tbinom {n}{k}}$则是由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森于1826年始用。最早探讨二项式系数的论述是十世纪的Halayudha写的印度教典籍《Pingala的计量圣典》（chandaḥśāstra），及至约1150年，印度数学家Bhaskaracharya于其著作《Lilavati》 中给出一个简单的描述。

二项式系数亦有不同的符号表达方式，包括：C(n, k)、_nC_k、ⁿC_k、$\scriptstyle C_{n}^{k}$、$\scriptstyle C_{k}^{n}$，其中的C代表组合（combinations）或选择（choices）。

定义及概念

考虑包含0的自然数n和k，则二项式系数${\tbinom {n}{k}}$定义为(1 + X)ⁿ的展式中，单项X^k的系数，亦即在二项式定理中的系数

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$

（任何交换环元素x、y中有定义），亦因此得名为“二项式系数”。

此数的另一出处在组合数学，表达了从n物中，不计较次序取k物有多少方式，亦即从一n元素集合中所能组成k元素子集的数量。此定义与上述定义相同，理由如下：若将幂(1 + X)ⁿ的n个因数逐一标记为i（从1至n），则任一k元素子集则建构成展式中的一个X^k项，故此该单项的系数等如此种子集的数量。亦因此，就任何自然数n和k而言，${\tbinom {n}{k}}$亦为自然数。此外，二项式系数亦见于很多组合问题的解答中，如由n个位元（如数字0或1）组成的所有序列中，其和为k的数目为${\tbinom {n}{k}}$，又如算式$k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$，其中每一a_i均为非负整数，则有${\tbinom {n+k-1}{k}}$种写法。这些例子中，大部分可视作等同于点算k个元素的组合的数量。

计算二项式系数

除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算${\tbinom {n}{k}}$的值。

递归公式

以下递归公式可计算二项式系数：

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N}$

其中特别指定：

${\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},$

${\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .$

此公式可由计算(1 + X)ⁿ⁻¹(1 + X)中的X^k项，或点算集合{1, 2, ..., n}的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

显然，如果k > n，则${\tbinom {n}{k}}=0$。而且对所有n，${\tbinom {n}{n}}=1$，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。

乘数公式

个别二项式系数可用以下公式计算：

${\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},$

上式中第一个分数的分子是一阶乘幂。此公式可以二项式系数在计算组合数量的意义理解：分子为从n个元素中取出k个元素的序列之数量，当中包含同样的元素但不同排列次序的序列。分母则计算同样的k个元素可有多少种排序方式。

阶乘公式

二项式系数最简洁的表达式是阶乘:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.$

其中“n!”是n的阶乘，此公式从上述乘数公式中分子分母各乘以(n − k)!取得，所以此公式中的分子分母有众同共同因子。除非先行抵销两边中的共同因子，否则以此公式进行计算时较率欠佳，尤因阶乘的数值增长特快。惟此公式展示了二项式系数的对称特性：

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.$

1

一般化形式及其与二项式级数的关系

若将n换成任意数值（负数、实数或复数）α，甚至是在任何能为正整数给出逆元素的交换环中的一元素，则二项式系数可籍乘数公式扩展：

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .$

此定义能使二项式公式一般化（其中一单项为1），故${\tbinom {\alpha }{k}}$仍能相称地称作二项式系数：

$(1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.$

2

此公式对任何复数α及X，|X| < 1时成立，故此亦可视作X的幂级数的恒等式，即系数为常数1，任意幂之级数定义，且在此定义下，对于幂的恒等式成立，例如

$(1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.$

若α是一非负整数n，则所有k > n的项为零，此无穷级数变成有限项的和，还原为二项式公式，但对于α的其他值，包括负数和有理数，此级数为无穷级数。

帕斯卡三角形 (杨辉三角形)

帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰阶表示系数的十进制数位，向右对齐，故左边边界约是二项式系数的对数，图中可见数族形成一对数凹数列。

主条目：帕斯卡法则

主条目：帕斯卡三角形

帕斯卡法则是一重要的递归等式：

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},$

3

此式可以用于数学归纳法，以证明${\tbinom {n}{k}}$对于所有n和k均为自然数（等同于证明k!为所有k个连续整数之积的因数），此特性并不易从公式(1)中得出。

帕斯卡法则建构出帕斯卡三角形:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

第n横行列出${\tbinom {n}{k}}$的k = 0,…,n项，其建构方法为在外边填上1，然后将上一行中每两个相邻数相加的和填在其下，此方法可快速地计算二项式系数而不涉及乘法或分数，例如从第5横行可马上得出

(x + y)⁵ = 1 x⁵ + 5 x⁴y + 10 x³y² + 10 x²y³ + 5 x y⁴ + 1 y⁵

在斜线上相邻项的差就是上一斜线上的数值，此乃上述递归等式(3)的延申意义。

组合数学和统计学

二项式系数是组合数学中的重要课题，因其可用于众多常见的点算问题中，例如

• 共有${\tbinom {n}{k}}$种方式从n元素中选取k项。见组合。
• 共有${\tbinom {n+k-1}{k}}$种方式从一个n元素集合中选取（容许重复选取）k元素建立多重集。
• 共有${\tbinom {n+k}{k}}$个字符串包含k个1和n个零。
• 共有${\tbinom {n+1}{k}}$个字符串包含k个1和n个零，且没有两个1相邻。
• 卡塔兰数是${\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}$
• 统计学中的二项式分布是${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
• 贝兹曲线的公式。

以多项式表达二项式系数

就任就非负整数k，$\scriptstyle {\binom {t}{k}}$可表达为一多项式除以k!：

${\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)}};\,\!$

此为带有理数系数，变量是t的多项式，可对任意实数或复数t运算以得出二项式系数，此“广义二项式系数”见于牛顿广义二项式定理。

就任意k，多项式${\tbinom {t}{k}}$可看成是惟一的k次多项式p(t)满足p(0) = p(1) = ... = p(k − 1) = 0 及 p(k) = 1.

其系数可以第一类斯特灵数表示，即：

${\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i}}{k!}}t^{i}$

${\tbinom {t}{k}}$之导数可以对数微分计算：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}\,.$

以二项式系数为多项式空间之基底

在任何包含Q的域中，最多d阶的多项式有惟一的线性组合$\sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}$。系数a_k是数列p(0), p(1), …, p(k)的第k差分，亦即：

$a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).$

3.5

整数值多项式

每一多项式${\tbinom {t}{k}}$在整数参数时均是整数值（可在k上，用帕斯卡法则以归纳法证明）。故此，二项式系数多项式的整数线性组合亦为整数值。反之，(3.5)表达了任何整数值的多项式均是二项式系数多项式的整数线性组合。一般而言，对于一个特征0域K的任何子环R，在K[t]内的多项式在整数参数时之值均在R内当且仅当该多项式是一二项式系数多项式的R-线性组合。

整数值多项式 3t(3t + 1)/2 可表达作：

$9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}$

从t=1,2,3时 3t(3t + 1)/2 =6,21,45用帕斯卡矩阵的逆可算出：

${\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix}}$

$=6{\tbinom {t-1}{0}}+15{\tbinom {t-1}{1}}+9{\tbinom {t-1}{2}}=6{\tbinom {t}{1}}+9{\tbinom {t}{2}}$

这种二项式系数多项式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

有关二项式系数的恒等式

关系式

阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在k是正整数时，对任意n有：

• ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}$
• ${\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.$

两个组合数相乘可作变换：

${\binom {n}{i}}{\binom {i}{m}}={\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{i-m}}$

一阶求和公式

• $\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}$
• $\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}$
• $\sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}$
• $\sum _{r=0}^{n}r^{m}{\binom {n}{r}}=n(n-1)\cdots (n-m+1)2^{n-m}$

$(1+e^{x})^{n}=\sum _{r=0}^{n}e^{rx}{\binom {n}{r}}$

$n(n-1)\cdots (n-m+1)(1+e^{0})^{n-m}=\sum _{r=0}^{n}r^{m}e^{0}{\binom {n}{r}}$

• $\sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}$

${\binom {a+m}{m-1}}+{\binom {a+m}{m}}+{\binom {a+m+1}{m+1}}+...+{\binom {a+n}{n}}={\binom {a+n+1}{n}}$

• $F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}$

$F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}$

主条目：朱世杰恒等式

• $\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$

${\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}$

二阶求和公式

• $\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}$

$(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}$

$(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}$

$(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}$

主条目：范德蒙恒等式

• $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}$

三阶求和公式

主条目：李善兰恒等式

• ${\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}$

参考文献

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• Fowler, David. The Binomial Coefficient Function. The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). 1996, 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics Second. Addison-Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. 
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• Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms Third. Addison-Wesley. 1997: 52–74. ISBN 0-201-89683-4. 
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• Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187. 

外部链接

• Calculation of Binomial Coefficient

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