駐點

在微積分，駐點（Stationary Point）又稱為臨界點（Critical Point）或平穩點，即函數在該點的一階導數為零或不存在，也就是說若 $p$ 為臨界點/駐點則

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{p}=0\,

在這一點，函數的輸出值停止增加或減少。

對於一維函數的圖像，駐點的切線平行於x軸。對於二維函數的圖像，駐點的切平面平行於xy平面。

值得注意的是，一個函數的駐點不一定是這個函數的極值點（考慮到這一點左右一階導數符號不改變的情況）；反過來，在某設定區域內，一個函數的極值點也不一定是這個函數的駐點（考慮到邊界條件）。

靜態平衡系統

在分析力學裏，虛功原理闡明，對於一個靜態平衡(static equilibrium)系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總合等於零，以方程式表達，

\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,

；

其中， $\delta W\,$ 是虛功， $\mathbf {F} _{i}\,$ 是第 $i\,$ 個外力， $\mathbf {r} _{i}\,$ 是對應於 $\mathbf {F} _{i}\,$ 的虛位移。

轉換為以廣義力 $F_{i}\,$ 和廣義坐標 $q_{i}\,$ 表達，

\delta W=\sum _{i}F_{i}\delta q_{i}=0\,

；

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是一個純量的廣義位勢函數 $V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,$ 的對於其對應的廣義坐標的導數：

F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\,

。

虛功與廣義位勢的關係為

\delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0\,

。

所以，一個靜態平衡系統的位勢 $V\,$ 乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這這系統處於穩定狀態，則位勢 $V\,$ 必須是個局域極小值。

歐拉-拉格朗日方程式

在變分法裏，歐拉-拉格朗日方程式是從其對應的泛函的平穩點推導出的一種微分方程式。設定

\mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!

，

{\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!

，

f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!

。

若 $\mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!$ 使泛函 $J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!$ 取得局部平穩值，則在區間 $(a,\ b)\,\!$ 內對於所有的 $i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\,\!$ ，歐拉-拉格朗日方程式成立：

{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\,\!

。

參見