杰恩斯-卡明斯模型

杰恩斯-卡明斯模型是一个量子光学的理论模型。它描述了一个双态系统和量化光腔(optical cavity)的交互作用，这种交互作用和光子的存在与否无关(在电磁辐射能造成光子自发性的放射与吸收)。它主要被运用在原子物理学，量子光学，固态量子信息电路的理论与实验上。

公式

描述整个系统的哈密顿量

{\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}

包含了自由场的哈密顿量，原子激发态的哈密顿量，JCM哈密顿量组成：

{\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{field}}&=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}

为方便起见，真空场能量被设置为 $0$ .

其中：

${\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }$ ${\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }$ 是场运算符，可以把量化辐射场装换为单个玻色子的模型，同时双态原子也就相当于是一个能用三维布洛赫球面描述的半自旋粒子
- ${\hat {a}}^{\dagger }$ 是玻色子的创生算符
- ${\hat {a}}$ 是玻色子的湮灭算符

${\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}$ 是原子耦合区的偏振运算符
${\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|$ 与 ${\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|$ 是原子的阶梯算符
${\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|$ 是原子反转运算符
$\omega _{a}$ 是原子跃迁频率
$\omega _{c}$ 模型的角频率

JCM哈密顿量

把薛定谔绘景变化为相互作用绘景(又名旋转框架(rotating frame)) ，使得 $H_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}$ 。可以得到：

{\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).

这个哈密顿量同时包含了快速 $(\omega _{c}+\omega _{a})$ 和慢速 $(\omega _{c}-\omega _{a})$ 震荡两部分。喂了求解这个模型，当 $|\omega _{c}-\omega _{a}|\ll \omega _{c}+\omega _{a}$ 的时候，快速振荡 “反向旋转”项可被忽略。这被称为旋波近似 rotating wave approximation.。装换回薛定谔绘景，JCM哈密顿量能被写作：

{\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).

原子场的耦合常数 ${\frac {\hbar \Omega }{2}}=d(\omega _{a}/\hbar V\epsilon _{0})^{1/2}$ 其中 $d$ 是原子跃迁时刻， $V$ 是腔模的体积。

本征态

在通常情况下，把整个系统的哈密顿量拆分成两部分是非常有用的:

{\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{I}+{\hat {H}}_{II},

其中，

{\begin{aligned}{\hat {H}}_{I}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{II}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}

$\delta =\omega _{a}-\omega _{c}$ 称之为场与双态系统的失谐量（频率）。

让 ${\hat {H}}_{I}$ 的本征态成为张量积的形式, 是很容易被求解的，记作 $|n,g\rangle ,|n,e\rangle$ ，其中 $n\in \mathbb {N}$ 表示模型中辐射量子的数量。

对位任意正整数n，状态 $|\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle$ 与状态 $|\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle$ 会退化为 ${\hat {H}}_{I}$ ， ${\hat {H}}_{\text{JC}}$ 足以在子空间 ${\text{span}}\{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}$ 对角化。 ${\hat {H}}_{\text{JC}}$ 的元素属于 ${H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle ,$ 的子空间，表示为：