內積

「內積」重定向至此，關於外代數上的內積，參見內乘。

點積（德語：Punktprodukt、英語：Dot Product）是兩個向量上的函數並返回一個標量的二元運算，它的結果是歐幾里得空間的標準內積。兩個向量的點積寫作a·b，也稱作內積(德語：inneres Produkt、英語：Inner Product)、數量積及標量積(德語：Skalarprodukt、英語：Scalar Product))。

向量的另一種乘法是外積 (德語：Kreuzprodukt 或 Vektorprodukt、英語：Cross Product 或 Vector Product)，寫作a×b。

定義

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾坐標系，向量之間的點積既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。

代數定義

兩個向量${\vec {a}}$ = [a₁, a₂, …, a_n]和${\vec {b}}$ = [b₁, b₂, …, b_n]的點積定義為:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

這裡的Σ指示求和符號。

例如，兩個三維向量[1, 3, -5]和[4, -2, -1]的點積是

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3$。

使用矩陣乘法並把（縱列）向量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}$，

這裡的${\vec {b}}^{T}$指示矩陣${\vec {b}}$的轉置。

使用上面的例子，將一個1×3矩陣（就是行向量）乘以一個3×1向量得到結果(通過矩陣乘法的優勢得到1×1矩陣也就是標量):

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}$。

幾何定義

在歐幾里得空間中，點積可以直觀地定義為

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \;$

這裡 |${\vec {x}}$| 表示${\vec {x}}$的模（長度），θ表示兩個向量之間的角度。

注意：點積的形式定義和這個定義不同；在形式定義中，${\vec {a}}$和${\vec {b}}$的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個互相垂直的向量的點積總是零。若${\vec {a}}$和${\vec {b}}$都是單位向量（長度為1），它們的點積就是它們的夾角的餘弦。那麼，給定兩個向量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

$\cos {\theta }={\frac {\mathbf {a\cdot b} }{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}$

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裡，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的標量長度來「標準化」。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

標量投影

A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

歐氏空間中向量A在向量B上的標量投影是指

$A_{B}=|\mathbf {A} |\cos \theta$

這裡 θ 是A 和 B的夾角。 從點積的幾何定義 $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta$ 不難得出，兩個向量的點積:$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$可以理解為向量$\mathbf {A}$在向量$\mathbf {B}$上的投影再乘以B的長度。

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{B}|\mathbf {B} |=B_{A}|\mathbf {A} |$

兩種定義的等價性

點積的兩種定義中，只需給定一種定義，另外一種定義就可以推出。

由幾何定義推出代數定義

設e₁, …, e_n 是 Rⁿ 空間的一組標準正交基, 可以得出：

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {B} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}$

上文中已經得知兩個向量點積的幾何定義實際上就是一個向量在另外一個向量上的投影，故A在任一標準基e_n 的點積$\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i}$就是A在此標準基向量上的投影，而根據向量自身的定義，這個投影即為a_i 。因此：

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}$

由代數定義推出幾何定義

應用餘弦定理。 注意：這個證明採用三維向量，但可以推廣到n維的情形。

考慮向量

${\vec {v}}=v_{1}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+v_{3}{\vec {k}}\;$.

重復使用勾股定理得到

$|{\vec {v}}|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;$.

而由代數定義

${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;$,

所以，根據向量點積的代數定義，向量${\vec {v}}$和自身的點積就是其長度的平方。

引理1

${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {v}}|^{2}\;$

現在，考慮兩個從原點出發的向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$，夾角θ。第三個向量${\vec {c}}$定義為

${\vec {c}}\equiv {\vec {a}}-{\vec {b}}\;$,

構造以${\vec {a}}$，${\vec {b}}$，${\vec {c}}$為邊的三角形，採用餘弦定理，有

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$.

根據引理1，用點積代替向量長度的平方，有

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$. （1）

同時，根據定義${\vec {c}}$ ≡ ${\vec {a}}$ - ${\vec {b}}$，有

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\;$,

根據分配律，得

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\;$. （2）

連接等式 （1）和 （2）有

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$.

簡化等式即得

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$,

以上即為向量點積的幾何定義。

需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用於$\mathbb {R} ^{n}$ ($n\leq 3$)。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是

$\left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

點積可以用來計算合力和功。若${\vec {b}}$為單位向量，則點積即為${\vec {a}}$在方向${\vec {b}}$的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。

性質

• 點積滿足交換律：${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}\;$

• 點積滿足分配律:${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$

• 點積是個雙線性算子：${\vec {a}}\cdot (r{\vec {b}}+{\vec {c}})=r({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\;$

• 在乘以一個標量的時候點積滿足:$(c_{1}{\vec {a}})\cdot (c_{2}{\vec {b}})=(c_{1}c_{2})({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

(後兩個性質從前兩個得出)。

兩個非零向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$是垂直的，當且僅當${\vec {a}}$·${\vec {b}}$ = 0。

如果${\vec {b}}$是單位向量，則點積給出${\vec {a}}$在方向${\vec {b}}$上投影的大小，如果方向相反則帶有負號。分解向量對求向量的和經常是有用的，比如在力學中計算合力。

不像普通數的乘法服從消去律，如果ab = ac，則b總是等於c，除非a等於零。而對於點積:

如果${\vec {a}}$·${\vec {b}}$ = ${\vec {a}}$·${\vec {c}}$並且${\vec {a}}$ ≠ 0:

則根據分配律可以得出: ${\vec {a}}$· (${\vec {b}}$ - ${\vec {c}}$) = 0；進而:

如果${\vec {a}}$垂直於 (${\vec {b}}$ - ${\vec {c}}$)，則 (${\vec {b}}$ - ${\vec {c}}$)可能 ≠ 0，因而${\vec {b}}$ 可能≠ ${\vec {c}}$；否則${\vec {b}}$ = ${\vec {c}}$。

應用

物理學中力學的力做功的問題，經常用到點積計算。

計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩向量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。

向量內積是人工智能領域中的神經網絡技術的數學基礎之一。

此方法被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。

廣義定義

在一個向量空間 $V$ 中，定義在 $V\times V$ 上的正定對稱雙線性形式函數即是 $V$ 的內積，而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間。

參見

• 向量積