亚瑟·韦伊费列治

亚瑟·韦伊费列治(1881年2月12日-1964年7月13日)

• 1939年,她证明只有15个整数需用8个立方数之和才能表示:15.22.50.114.167.175.186.212.231.238.303.364.420.428.454
• 1939年，狄克森证明只有23和239须用9个正立方数。
• 1770年，拉格朗日证明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。
• 1859年，刘维尔证明了g(4)<=53，他的想法是借助一个恒等式（Liouville polynomial identity）：

6 n 2 = 6 ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 ) 2 = ∑ i < j ( x i + y j ) 4 + ∑ i < j ( x i − y j ) 4 {\displaystyle 6n^{2}=6(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{2}=\sum _{i<j}\left(x_{i}+y_{j}\right)^{4}+\sum _{i<j}\left(x_{i}-y_{j}\right)^{4}} 6n^2=6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j }\left(x_i+y_j\right)^4+\sum_{i<j}\left(x_i-y_j\right)^4

后来哈代和李特尔伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)<=192；1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<=59；1964年陈景润证明了g(5)=37。[2]

事实上，莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想：g ( k ) = 2 k + [ ( 3 2 ) k ] − 2 {\displaystyle g(k)=2^{k}+\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right]-2} g (k) = 2^k + \left[\left(\frac{3}{2}\right)^k\right] - 2（"[q]"表示"q"的整数部分）。至1990年，对于6<k<471600000此式已经被计算机验证为正确。[3]