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普林演算法

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圖與樹
搜索演算法
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普林演算法（Prim演算法），圖論中的一種演算法，可在加權連通圖里搜索最小生成樹。意即由此演算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裡的所有頂點，且其所有邊的權值之和亦為最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普林（英語：Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。因此，在某些場合，普林演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普林－亞爾尼克演算法。

描述

從單一頂點開始，普林演算法按照以下步驟逐步擴大樹中所含頂點的數目，直到遍及連通圖的所有頂點。

  1. 輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；
  2. 初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {}；
  3. 重複下列操作，直到Vnew = V：
    1. 在集合E中選取權值最小的邊（u, v），其中u為集合Vnew中的元素，而v則是V中沒有加入Vnew的頂點（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
    2. 將v加入集合Vnew中，將（u, v）加入集合Enew中；
  4. 輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。

時間複雜度

最小邊、權的資料結構 時間複雜度（總計）
鄰接矩陣、搜索 O(V2)
二叉堆（後文偽代碼中使用的資料結構）、鄰接表 O((V + E) log(V)) = O(E log(V))
斐波那契堆、鄰接表 O(E + V log(V))

通過鄰接矩陣圖表示的簡易實現中，找到所有最小權邊共需O（V2）的運行時間。使用簡單的二叉堆與鄰接表來表示的話，普林演算法的運行時間則可縮減為O(E log V)，其中E為連通圖的邊數，V為頂點數。如果使用較為複雜的斐波那契堆，則可將運行時間進一步縮短為O(E + V log V)，這在連通圖足夠密集時（當E滿足Ω（V log V）條件時），可較顯著地提高運行速度。

例示

圖例 說明 不可選 可選 已選
此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。 - - -
頂點D被任意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
下一個頂點為距離D或A最近的頂點。B距D為9，距A為7，E為15，F為6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
演算法繼續重複上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。 無 C, E, G A, D, F, B
這裡，可供選擇的頂點只有C和G。C距E為5，G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。 無 C, G A, D, F, B, E
頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。 無 G A, D, F, B, E, C
現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。 無 無 A, D, F, B, E, C, G

證明

設prim生成的樹為G0

假設存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)

則在Gmin中存在(u,v)不屬於G0

將(u,v)加入G0中可得一個環，且(u,v)不是該環的最長邊

這與prim每次生成最短邊矛盾

故假設不成立，得證.

各語言程序代碼

Pascal語言程序

部分主程序段： 

procedure prim(v0:integer);
var
   lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
   i,j,k,min,ans:integer;
begin
   for i:=1 to n do
    begin
     lowcost[i]:=cost[v0,i];
     closest[i]:=v0;
   end;
   for i:=1 to n-1 do
     begin
      min:=maxint;
      for j:=1 to n do
         if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then
          begin
            min:=lowcost[j];
            k:=j;
         end;
      inc(ans, lowcost[k]);
      lowcost[k]:=0;
      for j:=1 to n do
         if cost[k,j]<lowcost[j] then
          begin
            lowcost[j]:=cost[k,j];
            closest[j]:=k;
         end;
   end;
 writeln(ans);
end;


c語言代碼

//来源：严蔚敏 吴伟民《数据结构(C语言版)》
void MiniSpanTree_PRIM (MGraph G,VertexType u)
{
	/*用普利姆算法從第u個頂點出發構造網G 的最小生成樹T,輸出T的各條邊。
	* 記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組定義：
	* struct
	  {
			VertexType adjvex;
			VRtype lowcost;
	 }closedge[MAX_VERTEX_NUM];
	*/
	k = LocateVex ( G , u );
	for (j= 0 ;j<G.vexnum; j++)   //輔助數組初始化
	{
		if (j!=k)
			closedge[j] = {u,G.arcs[k][j].adj};//{adjvex,lowcost}
	}
	closedge[k].lowcost = 0 ;           //初始，U={u}
	for( i=1; i<G.vexnum ;i++)          //選擇其餘G.vexnum -1 個頂點
	{
		k = minimum(closedge);                               //求出T的下個結點：第k結點
		
		/*此时 closedge[k].lowcost = MIN{ closedge[Vi].lowcost|closedge[Vi].lowcost>0,Vi∈V-U}
		*/
		printf(closedge[k].adjvex,G.vexs[k]);               //輸出生成樹的邊
		closedge[k].lowcost = 0;                           //第k條邊併入U集
		for ( j=0;j<G.vexnum ;j++)
		{
			if ( G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)    //新頂點併入U後重新選擇最小邊
			closedge[j] = {G.vex[k],G.arcs[k][j].adj};
		}
	}
}

Java語言實現

import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;
import java.util.List;

public class Prim {

	public static List<Vertex> vertexList = new ArrayList<Vertex>();//结点集
	public static List<Edge> EdgeQueue = new ArrayList<Edge>();//边集
	public static List<Vertex> newVertex = new ArrayList<Vertex>();//已经 访问过的结点
	
	public static void main(String[] args) {
		primTree();

	}
	public static void buildGraph() {
		Vertex v1 = new Vertex("a");
		Prim.vertexList.add(v1);
		Vertex v2 = new Vertex("b");
		Prim.vertexList.add(v2);
		Vertex v3 = new Vertex("c");
		Prim.vertexList.add(v3);
		Vertex v4 = new Vertex("d");
		Prim.vertexList.add(v4);
		Vertex v5 = new Vertex("e");
		Prim.vertexList.add(v5);
		addEdge(v1, v2, 6);
		addEdge(v1, v3, 7);
		addEdge(v2, v3, 8);
		addEdge(v2, v5, 4);
		addEdge(v2, v4, 5);
		addEdge(v3, v4, 3);
		addEdge(v3, v5, 9);
		addEdge(v5, v4, 7);
		addEdge(v5, v1, 2);
		addEdge(v4, v2, 2);
	}
	public static void addEdge(Vertex a, Vertex b, int w) {
		Edge e = new Edge(a, b, w);
		Prim.EdgeQueue.add(e);
	}
	public static void primTree(){
		buildGraph();
		Vertex start = vertexList.get(0);
		newVertex.add(start);
		for(int n=0;n<vertexList.size()-1;n++){
			Vertex temp = new Vertex(start.key);
			Edge tempedge = new Edge(start,start,1000);
			for(Vertex v : newVertex){
				for(Edge e : EdgeQueue){
					if(e.start==v && !containVertex(e.end)){
						if(e.key<tempedge.key){
							temp = e.end;
							tempedge = e;
						}
							
						
					}
				}
			}
			newVertex.add(temp);
		}
		Iterator it = newVertex.iterator();
		while(it.hasNext()){
			Vertex v =(Vertex) it.next();
			System.out.println(v.key);
		}
	}
	public static boolean containVertex(Vertex vte){
		for(Vertex v : newVertex){
			if(v.key.equals(vte.key))
				return true;
		}
		return false;
	}
}
class Vertex {
	String key;
	Vertex(String key){
		this.key = key;
	}
}

class Edge{
	Vertex start;
	Vertex end;
	int key;
	Edge(Vertex start,Vertex end,int key){
		this.start = start;
		this.end  = end;
		this.key = key;
		
	}
}

參考

普林演算法與迪科斯徹演算法的策略相似。

取自「https://zh.wikipedia.org/zhwiki/w/index.php?title=普林姆算法&oldid=42463112」