黑格纳数

黑格纳数指一些非平方数的正整数，其虚二次域Q(√−d)的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环。黑格纳数只有以下九个：

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS数列A003173）

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个，但未提出证明，1952年库尔特·黑格纳提出不完整的证明，后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明，即为斯塔克–黑格纳定理。

欧拉的质数多项式

欧拉的质数多项式如下：

$n^{2}-n+41,\,$

在n = 1, ..., 40时会产生不同的40个整数，这和黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

欧拉公式，$n$取值为1,... 40和以下的多项式

$n^{2}+n+41,\,$

让$n$取值0,... 39时等效，而Rabinowitz证明了

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n^2 + n + p \, </math 在<math>n=0,\dots,p-2} 为质数若且惟若其判别式$1-4p$等于负的黑格纳数。

（若代入$p-1$会得到$p^{2}$一定不是质数，因此最大值只能取到$p-2$） 1, 2和3不符合要求，因此符合条件的黑格纳数为$7,11,19,43,67,163$，也就表示可以让欧拉公式产生质数的n为$2,3,5,11,17,41$，这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈称为欧拉的幸运数。

拉马努金常数

拉马努金常数是$e^{\pi {\sqrt {163}}}$的值, 非常接近整数:

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots$

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Heegner Number. MathWorld. 
• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
• Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran.