黑格納數

黑格納數指一些非平方數的正整數，其虛二次域Q(√−d)的類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環^[1]。黑格納數只有以下九個：

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173）

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納（英語：Kurt Heegner）提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為斯塔克–黑格納定理（英語：Stark–Heegner theorem）。

歐拉的質數多項式

n^{2}-n+41,\,

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個整數，這和黑格納數163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式， $n$ 取值為1,... 40和以下的多項式

n^{2}+n+41,\,

讓 $n$ 取值0,... 39時等效，而Rabinowitz^[2]證明了

n^{2}+n+p\,

在 $n=0,\dots ,p-2$ 為質數若且惟若其判別式 $1-4p$ 等於負的黑格納數。

（若代入 $p-1$ 會得到 $p^{2}$ 一定不是質數，因此最大值只能取到 $p-2$ ）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格納數為 $7,11,19,43,67,163$ ，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的n為 $2,3,5,11,17,41$ ，這些數字被弗朗索瓦·勒·利奧奈（英語：François Le Lionnais）稱為歐拉的幸運數（英語：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉馬努金常數是 $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ 的值, 非常接近整數:

e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots

^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.