叉積

關於其他常稱作外積的相關二元運算，參閱外積 (消歧義)。

叉積（英語：Cross product）是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個純量。兩個向量的叉積寫作 $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$，也稱作外積（英語：Outer product）或向量積（英語：Vector product）。叉積與原來的兩個向量都垂直。

定義

在右手坐標系中的向量積

兩個向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 的叉積寫作 $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$（有時也被寫成$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$，避免和字母 x 混淆）。叉積可以定義為：

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta \;{\hat {\mathbf {n} }}$

在這裡 $\theta$ 表示 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 之間的角度（$0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{\circ }$），它位於這兩個向量所定義的平面上。而 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 是一個與 $\mathbf {a}$、$\mathbf {b}$ 所構成的平面垂直的單位向量。

這個定義有個問題，就是同時有兩個單位向量都垂直於 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$：若 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 滿足垂直的條件，那麼$-{\hat {\mathbf {n} }}$也滿足。

「正確」的向量由向量空間的方向確定，即按照給定直角坐標系的左右手定則。若（$\mathbf {i}$、$\mathbf {j}$、$\mathbf {k}$）滿足右手定則，則（$\mathbf {a}$、$\mathbf {b}$、$\mathbf {a} \times \mathbf {b}$）也滿足右手定則；或者兩者同時滿足左手定則。

一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系滿足右手定則，當右手的四指從 $\mathbf {a}$ 以不超過180°的轉角轉向 $\mathbf {b}$ 時，豎起的大拇指指向是 $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ 的方向。由於向量的叉積由坐標系確定，所以其結果被稱為「偽向量」。

性質

代數性質

對於任意三個向量 $\mathbf {a}$、$\mathbf {b}$、$\mathbf {c}$，

• $\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0}$
• $\mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0}$
• $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$（反交換律）
• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c}$（加法的左分配律）
• $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c}$（加法的右分配律）
• $(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )$
• $\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b}$
• $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |$
• $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{vmatrix}}$（拉格朗日恆等式）

一般來說，向量叉積不遵守約簡律，即 $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c}$ 不表示 $\mathbf {b} =\mathbf {c}$。此外，$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ 不表示 $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ 或 $\mathbf {b} =\mathbf {0}$。

但對於兩個非零向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$，

• $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ 若且唯若 $\mathbf {a}$ 平行於 $\mathbf {b}$

三重積

主條目：三重積

純量三重積滿足以下特殊的結合律：

• $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$

向量三重積不滿足結合律，但滿足以下恆等式：

• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\;+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\;+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}$ （雅可比恆等式）

向量三重積亦可以點積展開：

• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$（拉格朗日公式）

向量微分

對於實數 $t$ 和兩個向量值函數 $\mathbf {a} (t)$、$\mathbf {b} (t)$，乘積法則成立：

• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}$

三維坐標

給定直角坐標系的單位向量$\mathbf {i}$，$\mathbf {j}$，$\mathbf {k}$滿足下列等式：

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$、$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$、$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$

通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$

$\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$

則

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述 $\mathbf {i}$、$\mathbf {j}$、$\mathbf {k}$ 之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元數a₁i + a₂j + a₃k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參見四元數與空間旋轉。

幾何意義

以向量定義的平行四邊形。

由向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 定義兩條鄰邊的平行四邊形，其面積 $A$ 為

$A=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta$

因此兩支向量叉積的模長可視作平行四邊形其面積：

• $A=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$

高維情形

七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質：

• 雙線性性：

$\mathbf {x} \times (a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )=a\mathbf {x} \times \mathbf {y} +b\mathbf {x} \times \mathbf {z}$

$(a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )\times \mathbf {x} =a\mathbf {y} \times \mathbf {x} +b\mathbf {z} \times \mathbf {x}$

• 反交換律：

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} +\mathbf {y} \times \mathbf {x} =\mathbf {0}$

• $\mathbf {x} \times \mathbf {y}$ 同時與 $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 垂直：

$\mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {0}$

• 拉格朗日恆等式

$|\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}$

• 不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：

$\mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\;+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\;+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\neq \mathbf {0}$

應用

另外，在物理學力學、電磁學、光學和計算機圖形學等理工學科中，叉積應用十分廣泛。例如力矩、角動量、洛倫茲力等矢量都可以由向量的叉積求解。在進行這些物理量的計算時，往往可以藉助右手定則輔助判斷方向。

參見

• 純量積
• 三重積
• 右手定則
• 外代數：叉乘的實質，贗矢量與贗純量