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在数学中，介值定理的陈述是：
假设 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 是一个实数里的区间，而 f : I → R {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } 是连续函数，那么其像集 f ( I ) {\displaystyle f(I)} 也是区间。它或者包含 [ f ( a ) , f ( b ) ] {\displaystyle [f(a),f(b)]} （如果 f ( a ) ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(b)} ），或者包含 [ f ( b ) , f ( a ) ] {\displaystyle [f(b),f(a)]} （如果 f ( a ) ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(b)} ）。换言之：
或
介值定理通常以下述等价的形式表述：假设 f : I → R {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } 是连续函数，且实数 u {\displaystyle u} 满足 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} 或 f ( a ) > u > f ( b ) {\displaystyle f(a)>u>f(b)} ，则存在 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。
直观地比喻，这代表可以在纸上画出一个连续函数 f : I → R {\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} } 的图形，而不让笔离开纸面。
此定理仰赖于实数完备性，它对有理数不成立。例如函数 f ( x ) = x 2 − 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}-2} 满足 f ( 0 ) = − 1 , f ( 2 ) = 2 {\displaystyle f(0)=-1,f(2)=2} ，但不存在满足 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 的有理数 x {\displaystyle x} 。
![{\displaystyle I=[a,b]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6214bb3ce7f00e496c0706edd1464ac60b73b5)
是一个实数里的区间，而 
是连续函数，那么其像集 
也是区间。它或者包含 ![{\displaystyle [f(a),f(b)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d161b7a940ac6e5fee9c0e946217e91ca36eb0)
（如果 
），或者包含 ![{\displaystyle [f(b),f(a)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23281aa2dc8e028567a42a77030125f8c56bd44)
（如果 ）。换言之：
![{\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ac4aeae809aef36c01241d0fe4c386b024d2a8)
,![{\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed18c65a543d4ca933548ea0a948b29f767e098b)
. 是连续函数，且实数 
满足 
或 
，则存在 
使得 
。
的图形，而不让笔离开纸面。
介值定理图解
满足 
，但不存在满足 
的有理数 
。
