截角十二面体

截角十二面体
	; (按这里观看旋转模型)
类别	半正多面体
对偶多面体	三角化二十面体
识别
名称	截角十二面体
参考索引	U26, C29, W10
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tid
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t{5,3}
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	2 3 \| 5
康威表示法	tD
性质
面	32
边	90
顶点	60
欧拉特征数	F=32, E=90, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	正三角形; 正十边形
面的布局; （英语：Face configuration）	20个{3}; 12个{10}
顶点图	3.10.10
对称性
对称群	Ih群
特性
	-
图像
	; 3.10.10; （顶点图）
; 三角化二十面体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

在几何学中，截角十二面体是一种由正十边形和正三角形组成的三十二面体^[1]，是一种阿基米德立体^[2]。其每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点，具有每个顶角相等的性质，因此截角十二面体是一种半正多面体^[3]。

性质

截角十二面体共有32个面、90条边和60个顶点^[4]，每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点，其顶点图可以用3.10.10来表示，也可以简写为3.10²^[5]。

截角十二面体可以经由正十二面体透过截角变换构造而成。截角变换使得正十二面体原本的正五边形面变成正十边形面，并在原本的顶点处形成正三角形。

边长为a的截角十二面体体积V和表面积A分别为：

A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}

V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}

边长为2φ − 2且几何中心位于原点的截角十二面体^[6]其顶点座标为^[7]：

\left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)

、

\left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)

、

(±φ, ±2, ±(φ + 1))。

其中φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ，为黄金比例.

截角十二面体对应的结构也可以构建成球面镶嵌，并以球极平面投影的方式呈现。

正投影图（英语：Orthographic projection）	球极平面投影
	以十边形为中心	以正三角形为中心
透视图	施莱格尔图

有一些多面体与截角十二面体具有相同的顶点布局，换句话说，及他们与截角十二面体共用顶点、或者可以具有相同的顶点座标。这些多面体有^[8]^[9]^[10]：

截角十二面体（原像）	大二十合二十合十二体（英语：Great icosicosidodecahedron）	大二重三角十二合二十合十二面体（英语：Great ditrigonal dodecicosidodecahedron）	大十二合二十面体（英语：Great dodecicosahedron）

Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated Dodecahedron. MathWorld.
^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron". Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone.. Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010.
^ Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron.". scienceu.
^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.10²." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld.
^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-12）.
^ 埃里克·韦斯坦因. 大二十合二十合十二體. MathWorld.
^ 埃里克·韦斯坦因. 大二重三角十二合二十合十二面體. MathWorld.
^ 埃里克·韦斯坦因. 大十二合二十面體. MathWorld.
^ N.W. Johnson（英语：Norman Johnson (mathematician)）: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966