双射

一个双射函数

数学中，一个由集合X映射至集合Y的函数，若对每一在Y内的y，存在唯一一个在X内的x与其对应，则此函数为双射函数。

换句话说，f为双射的若其为两集合间的一一对应，亦即同时为单射和满射。

例如，由整数集合$\mathbb {Z}$至$\mathbb {Z}$的函数succ，其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1，这是一个双射函数；再看一个例子，函数sumdif，其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)，这也是个双射函数。

一双射函数亦简称为双射（英语：bijection）或置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为X${}\leftrightarrow {}$Y.

双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数f为双射的当且仅当其逆关系$f^{-1}$也是个函数。在这情况，$f^{-1}$也会是双射函数。

两个双射函数$f:X\leftrightarrow Y$及$g:Y\leftrightarrow Z$的复合函数$g\circ f$亦为双射函数。其反函数为$(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$。

一个复合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若$g\circ f$为双射的，可知$f$是单射的且$g$是满射的，但也仅限于此。

一由$X$至$Y$的关系f为双射函数当且仅当存在另一由$Y$至$X$的关系$g$，使得$g\circ f$为$X$上的恒等函数，且$f\circ g$为$Y$上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

双射与势

若X和Y为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

例子与反例

• 对任一集合X，其恒等函数为双射函数。
• 函数f : R $\rightarrow$ R，，其形式为f(x) = 2x + 1，是双射的，因为对任一y，存在一唯一x = (y − 1)/2使得f(x) = y。
• 指数函数g : R $\rightarrow$ R，其形式为g(x) = e^x，不是双射的：因为不存在一R内的x使得g(x) = −1，故g非为双射。但若其陪域改成正实数R⁺ = (0,+∞)，则g便是双射的了；其反函数为自然对数函数 ln。
• 函数h : R $\rightarrow$ [0,+∞)，其形式为h(x) = x²，不是双射的：因为h(−1) = h(1) = 1，故h非为双射。但如果把定义域也改成[0,+∞)，则h便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
• $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$不是双射函数，因为−1, 0和1都在其定义域里且都映射至0。
• $\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$不是双射函数，因为π/3和2π/3都在其定义域里且都映射至${\sqrt {3}}/2$。

性质

• 一由实数$\mathbb {R}$至$\mathbb {R}$的函数$f$是双射的，当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
• 设$X$为一集合，则由$X$至其本身的双射函数，加上其复合函数“$\circ$”的运算，会形成一个群，即为$X$的对称群，其标记为${\mathfrak {S}}(X)$、${\mathfrak {S}}_{X}$或$X!$。
• 取一定义域的子集$A$及一陪域的子集$B$，则

$|f(A)|=|A|$ 且 $|f^{-1}(B)|=|B|$。

• 若$X$和$Y$为具相同势的有限集合，且$f:X\to Y$，则下列三种说法是等价的：

1. $f$ 为一双射函数。
2. $f$ 为一满射函数。
3. $f$ 为一单射函数。

双射与范畴论

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

另见

• 单射
• 同构
• 置换
• 对称群
• 满射
• 双射计数法

参考文献

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• Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003. 
• Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006. 
• Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996. 
• O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003. 
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
• Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002. 
• Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001. 
• Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005. 
• Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
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• D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000. 
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• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
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• Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.