实函数

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。實函數的特性之一是可以在坐標平面上畫出圖形。

定義

一個實函數 $f$ 是一個把實數（一般以 $x$ 表示）映射到另一實數（函數的值，一般以 $f (x)$ 表示）的函數。換句話說，實函數是一個函數 $f:X\to \mathbb {R}$ ，當中 $X$ 是 $\mathbb {R}$ 一個包含至少一個開集的子集（可以等於 $\mathbb {R}$ ）。

定義於所有非負實數的平方根函數便是一個例子： $f:X\to \mathbb {R}$ ，當中 $X=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$ 是所有非負實數的集合及對所有 $x\in X$ ， $f(x)={\sqrt {x}}$ 。

定義域

一個實函數的定義域未必總是明確寫出。對任一定義域為 $X$ 的實函數 $f$ 和任一 $X$ 的子集 $Y$ ，可定義 $f$ 對 $Y$ 的限制函數 $f | Y$ 。其定義域為 $Y$ 而對所有 $Y$ 的元素，函數的取值維持不變。若 $Y$ 是 $X$ 的真子集，這兩個函數理論上並不相同，但往往可將兩者視為等同。

相反，有時函數的定義域可透過解析延拓或利用函數的連續性擴大。由此可見，明確指出實函數的未必有明顯價值。

像與值域

函數 $f$ 的值域是指當 $x$ 可取定義域內任何值時， $f (x)$ 所有可能取值的集合。若 $f$ 是連續實函數而其定義域是一個區間，那麼它的值域也會是一個區間（除非 $f$ 是常數函數，此時其值域將是一點）。

對任何實數 $y$ ，方程式 $y = f (x)$ 所有實數解的集合稱為 $y$ 的原像。

代數結構

實函數之間的運算可如下定義：

對任意實數 $r$ 及實函數 $f$ ，可定義兩者的積 $rf:x\mapsto rf(x)$ 。若 $r$ 不等於0，則此函數的定義域與 $f$ 相同。
對任何兩個實函數 $f$ 和 $g$ ，可定義兩者的和 $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ 及積 $fg:x\mapsto f(x)g(x)$ 。兩者的定義域均為 $f$ 和 $g$ 的定義域的交集。由此，所有定義於全部實數和所有定義於某一特定區間的實函數分別組成 $\mathbb {R}$ 上的結合代數（也因此組成一個向量空間），其中加法和乘法單位元分別為常數函數 $0_{f}:x\mapsto 0$ 及 $1_{f}:x\mapsto 1$ 。