介值定理

在数学分析中，介值定理（intermediate value theorem）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

如果連續函數

f(x)

通過

(a,f(a))

與

(b,f(b))

兩點，它也必定通過

[a,b]

區間內的任一點

(c,f(c)),a<c<b

。

直觀地比喻，這代表在 $[a,b]$ 區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線，其任二點間的光滑性可由均值定理來描述。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的闭区间，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

证明

先证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$ ；第二种情况也类似。

设 $S$ 为 $[a,b]$ 内所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那么 $S$ 是非空的，因为 $a$ 是 $S$ 的一个元素，且 $S$ 是上有界的，其上界为 $b$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界 $c=\mathrm {sup}$ $S$ 一定存在。我们来证明 $f(c)=u$ 。

假设 $f(c)>u$ 。那么 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因为 $f$ 是连续函数。但是，这样一来，当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是说，对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因此 $c-\delta$ 是 $S$ 的一个上界，与我们假设 $c$ 是最小上界以及 $c-\delta <c$ 矛盾。

假设 $f(c)<u$ 。根据连续性，存在一个 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那么对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大于 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，这与 $c$ 的定义矛盾。