乌雷松度量化定理

乌雷松度量化定理给出了一个拓扑空间是可度量化的充分条件。 注意：由于定理给出的是充分条件，这意味着可度量化空间的基不一定可数，例如具有离散拓扑实轴R，它的拓扑必然包括R上所有的单点集，而单点集必定是所给拓扑基基元素的一部分，并以单点集形式出现，而这些单点集显然是不可数的。所以具有离散拓扑实轴R尽管是可度量化的，但它却没有一组可数基。

内容

如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基，那么X是可度量化的。 一个拓扑空间中被说成是可度量的，如果有一个度量 $(X,\tau )$ $d\colon X\times X\to [0,\infty )$ 并且这拓扑$\tau$由 d 诱导产生。

证明的想法

利用X是正则的且有一组可数基的假定就可以证明，X能嵌入一个度量空间之中。因此，X与一个度量空间的子空间同胚。由于一个度量空间的子空间是可度量化的，又由于可度量性是一种拓扑性质，于是得出：X是可度量化的。

例子

Z上的等差数列拓扑由所有形如 A_a,b={...,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,...} 的等差数列所组成的基来定义，其中a,b∈R.b≠0。

• 诱导Z上的度量
  诱导Z上的度量

参考文献

• （美）亚当斯（Adams, C.）等 著；沈以淡 等 译.《拓扑学基础及应用》. 北京：机械工业出版社，2010-02. ISBN 978-7-111-28809-1.