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設 ( A , ≤ ) {\displaystyle (A,\leq )} 為一個偏序集，若存在 y ∈ A {\displaystyle y\in A} ，能滿足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ，則 y {\displaystyle y} 稱作集合 B {\displaystyle B} 的上界，若存在 z ∈ A {\displaystyle z\in A} ，能滿足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≥ z {\displaystyle x\geq z} ，則 z {\displaystyle z} 稱作 B {\displaystyle B} 的下界。
例如在實變數中，若存在一個實數 b {\displaystyle b} ，能滿足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≤ b {\displaystyle x\leq b} ，則 b {\displaystyle b} 即為集合 S {\displaystyle S} 的上界，若存在一個實數 c {\displaystyle c} ，能滿足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≥ c {\displaystyle x\geq c} ，則 c {\displaystyle c} 即為集合 S {\displaystyle S} 的下界。
在實變數中，若含上界，則必含最小上界；若含下界，則必存在最大下界。[1]
