计算机代数系统

计算机代数系统（英语：computer algebra system，缩写作：CAS）是进行符号运算的软件。这种系统的要件是数学表示式的符号运算。

表示式的类别

表示式的例子包括：

• 多变元多项式
• 标准函数（三角函数、指数函数等等）
• 特殊函数（Γ函数、Bessel函数等等）
• 由各种表示式合成的函数
• 表示式的导函数、积分、和与积
• 以表示式为系数的级数
• 表示式构成的矩阵

符号运算

以下是几种典型的符号运算：

• 表示式的简化
• 对表示式求值
• 表示式的变形：展开、积、幂次、部分分式表法、将三角函数表为指数函数等等。
• 对单变元或多变元的微分。
• 带条件或不带条件的整体优化。
• 部分或完整的因式分解。
• 求解线性方程组或一些非线性方程式。
• 某类微分方程或差分方程的符号解。
• 求某些函数的极限值。
• 一些函数的定积分或不定基分，包括多变元的情形。
• 泰勒展开式、罗朗展开式与Puiseux展开式
• 某些函数的无穷级数展开式。
• 对某些级数求和。
• 矩阵运算。
• 数学式的显示，通常借着TeX之类的系统达成。

其它功能

通常计算机代数系统还能进行一些数值运算：

• 函数的确切求值。
• 高精度求值，例如计算$2^{1/3}$到小数点后$10000$位。
• 线性代数的数值运算。
• 描绘二维或三维的函数图形。

在数值运算方面，计算机代数系统的速度通常较Matlab、GNU Octave或C语言中以同等方式实现的程序慢。这是因为计算机系统几乎总是对符号表示式运算，故不能充分利用CPU的既有指令。

许多计算机代数系统内置高级编程语言，以供用户扩展，或设置个人的操作模式。

历史

马丁纽斯·韦尔特曼（Martinus J. G. Veltman） 是这个领域的先驱，他首先考虑了在高能物理中的应用。他在1963年设计的第一个程序叫Schoonship（荷兰文，意指“干净的船”）。

最早受到欢迎的系统是Reduce、Derive与Macsyma，现在仍然可获取。Macsyma的一个GNU通用公共许可证发行的版本叫作Maxima，现在仍有维护。市场的龙头为Maple与Mathematica，两者被数学家、科学家及工程师们广泛采用，此外还有MuPAD与MathCad。

另有一些系统着眼于特定的应用领域，这些系统通常在学院中被设计、发展及维护，例如交换代数系统Macaulay 2或数论系统PARI/GP。

当前流行计算机代数系统

• mathHandbook.com (former symbmath)
• Sagemath
• Mathematica
• Maple
• MAGMA
• Maxima
• GAP
• PARI/GP
• Meditor
• MuPAD
• Mathomatic
• Xcas / Giac
• Yacas
• Mate

参考文献

来源

• Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification. Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972.

外部链接

There are various lists of computer algebra systems available on-line:

• https://web.archive.org/web/20110718004430/http://directory.google.com/Top/Science/Math/Algebra/Software/
• http://www.cs.ru.nl/~freek/digimath/xindex.html
• 开放目录项目中的“Math Software”
• http://www.mat.univie.ac.at/~slc/divers/software.html
• Use Maxima in a web browser without downloading any software
• http://orms.mfo.de/about
• Rosetta Translations: a collection of synonyms for various operations in the computer algebra systems

参见

• 数学软件
• 计算机代数系统比较