在數學中,一個數的平方根指的是滿足的數,即平方結果等於的數。例如,4和-4都是16的平方根,因为42 = (−4)2 = 16。
任意非負實數都有唯一的非負平方根,称为算术平方根或主平方根(英語:principal square root),記為,其中的符号√称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作 ,因为 32 = 3 • 3 = 9 并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英語:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。
正数有兩個互为相反数的平方根:正数与负数,可以将两者一起记为。
負數的平方根在复数系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學對象都可考慮其“平方根”(例如矩陣的平方根)。
历史
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了的十六进制数字 1;24,51,10。[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个正数的比值表示的数(无法写作m/n,其中m和n是整数)。[3]
中国的《算数书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母“L”受不少中世紀的歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫,在要被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小楷r的變型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“√  ̄”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而形成了现在人們熟知的开方运算符号。
實數的平方根
x的平方根亦可用指數表示,如:
的絕對值可用的算數平方根表示:
正數的平方根
若正整數x是平方數,則其平方根是整數。若正整數x不是平方數,則其平方根是無理數。
對於正數x、y,以下式成立:
負數的平方根
負數的平方根在複數範圍内同樣有定義。
负数有兩個平方根,它们为一对共轭的纯虚数。
以虛數單位可將負數x的平方根表示為
- ,其中。
例如-5的平方根有两个,它们分别为和。
對於負數x、y,以下式成立:
平方根函數
複數的平方根
对于任何一个非零的复数都存在两个複数使得。
通常定义如下:如果(其中),则。
因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。的泰勒级数也适用于复数x(|x| < 1)。
如果一个复数是的形式,则可以使用以下公式计算平方根:
因為在虛數裏,平方根函數的值不是連續的,這條定律不成立。如果這條定律仍可用,就會出現一些錯誤的證明,例如:
注意,因此,
所以,使用
和。
多项式的平方根
例:若,
2的算术平方根
數學史中,最重要的平方根可以說是,它代表邊長為1的正方形的對角線長,是第一個公認的無理數,也叫毕达哥拉斯常数。
是無理數,可由歸謬法證明:
- 設為有理數,可表示為,其中p、q為互質之正整數。
- 因為,故是2的倍數,p也是2的倍數,記為2k,其中k為正整數。
- 但是,故,是2的倍數,q也是2的倍數。
- 依上兩式,p、q都是2的倍數,和p、q為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證不是有理數,即是無理數。
計算方法
中算开方
《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法;明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[4]。
長除式算法
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是。
- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
- 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於又最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步,直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以為例子:
四捨五入得答案為14.14。
事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下:
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1
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1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
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1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
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2
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2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
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2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
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2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
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2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
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3
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3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
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3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
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3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
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3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
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3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
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3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
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4
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4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
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4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
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4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
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4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
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牛頓法
如果要求的平方根,選取
例子:求至6位有效數字。
因此.
平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:
连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。
巴比倫方法
重複的算術運算
這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。
問題
給定線段AB和1,求一條長為√AB的線段。
解法
- 畫線AB,延長BA至C使AC=1
- 以BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線,垂直線和圓弧交於D,AD即為所求之長度
證明
將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設
- 直徑為BC的圓就是(圓的方程式:r2)(其中,r表示半径。)
- 將(A,D所在的x座標)代入上面的方程式
- 解方程,得y=√n。
参见
外部链接
參考資料