平方

$y=x^{2}$

代數中，一個數的平方是此數與它的本身相乘所得的乘積，一個元素的平方是此元素與它的本身相乘所得的乘積，記作x²。平方也可視為求指數為2的冪的值。若x是正實數，這個乘積相當於一個邊長為x的正方形的面積；如果x為虛數，則這個乘積為負數。如果x為非虛數的複數，則這個乘積也是複數。

如果實數y = x²，就說y是x的平方；如果同時x是非負數，那麼x就是y的平方根。如果一個整數 $n$ 是某個整數的平方，則稱 $n$ 為一個完全平方數或平方數。有理數的平方一定是有理數，無理數的平方可以是有理數，也可以是無理數。

平方和

平方和通常指一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。 正整數的平方和公式如下：

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

證明

用數學歸納法證明如下：

$n=1$時，$1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1$成立

$n=2$時，$1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5$成立

設$n=k$時成立，即$1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$成立

當$n=k+1$時，

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}$

$={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}$

$={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}$

$={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}$

$={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}$

$={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$

$={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}$

故$n=k+1$時亦成立，原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

平方和也可以指：$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$

應用

例子一

已知$x+{\frac {1}{x}}=5$，求$x^{10}+{\frac {1}{x^{10}}}=$?

$x^{2}+x^{-2}=(x+x^{-1})^{2}-2\cdot x\cdot x^{-1}=5^{2}-2=23$

$x^{3}+x^{-3}=(x+x^{-1})^{3}-3\cdot x\cdot x^{-1}(x+x^{-1})=5^{3}-3\cdot 5=110$

$x^{5}+x^{-5}=(x^{2}+x^{-2})\cdot (x^{3}+x^{-3})-(x+x^{-1})=23\cdot 210-5=2525$

$x^{10}+x^{-10}=(x^{5}+x^{-5})^{2}-2=2525^{2}-2=6375623$

例子二

已知$x+{\frac {1}{x}}=k$，求$x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}=$?

$x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}$

$=(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}})*(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}})-k$

$=(k*(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})-k)*((x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})*(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})-2)-k$

$x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}$

$=(k*(k^{2}-2)-k)*((k^{2}-2)^{2}-2)-k$

$=(k^{3}-3k)*(k^{4}-4k^{2}+2)-k$

$k^{7}-7k^{5}+14k^{3}-7k$

驗算

用k=2代入此多項式，此時x=1，得到2。所以如果光考慮必要條件，這個答案應該是對的。用k=2.5代入，此時x=2，得到128.0078125，那就幾乎可以確定這是正確答案。

參見

• 立方
• 次方