微積分學教程

《微積分學教程》（俄語：Курс дифференциального и интегрального исчисления），是蘇聯數學家菲赫金哥爾茨（俄語：Григорий Михайлович Фихтенгольц） 為數學分析課程撰寫的一本教程。書中所包含的主要理論是20世紀初最後形成的現代數學分析的經典部分，其內容是在大學的第一、二年級講授。

全書共分為三卷，第一卷包括實數理論、實變數一元與多元微分學及其應用；第二卷研究黎曼積分理論與級數理論；第三卷研究多重積分、曲線積分、曲面積分、斯蒂爾切斯積分、傅里葉級數與傅里葉變換。此教程篇幅巨大、內容豐富並含有大量例題及應用實例，定理證明詳盡細緻、處理方法經典，理論內容論述深刻。種種原因使得全書被譯為多種文字，並在中、東歐國家及中國大陸廣為流傳。目前最新中譯版是高等教育出版社第八版。

作者

《微積分學教程》的作者菲赫金哥爾茨是蘇聯數學家及數學教育家，是實變函數論列寧格勒學派的奠基人。他致力於研究實變函數論及泛函分析，在函數度量理論的一系列工作使其成為這個領域中的一流數學家。

菲赫金哥爾茨講學30餘年的數學分析課程，蘇聯數學家伊西多爾·保羅維奇·那湯松、謝爾蓋·里沃維奇·索伯列夫、Dmitry Konstantinovich Faddeev，力學家Sergey Khristianovich，以及諾貝爾經濟學獎得主坎托羅維奇都是他的學生。此外，他還是蘇聯第一屆數學奧林匹克的發起人、20世紀30年代蘇聯中學數學教學大綱的制定者。

目錄

第一卷

• 緒論　實數
  • §1　有理數域
  • §2　無理數的導入．實數域的序
  • §3　實數的算術運算
  • §4　實數的其他性質及應用
• 第一章　極限論
  • §1　整序變量及其極限
  • §2　極限的定理．若干容易求得的極限
  • §3　單調整序變量
  • §4　收斂原理．部分極限
• 第二章　一元函數
  • §1　函數概念
  • §2　函數的極限
  • §3　無窮小及無窮大的分階
  • §4　函數的連續性及間斷
  • §5　連續函數的性質
• 第三章　導數及微分
  • §1　導數及其求法
  • §2　微分
  • §3　微分學的基本定理
  • §4　高階導數及高階微分
  • §5　泰勒公式
  • §6　插值法
• 第四章　利用導數研究函數
  • §1　函數動態的研究
  • §2　凸（與凹）函數
  • §3　函數的作圖
  • §4　不定式的定值法
  • §5　方程的近似解
• 第五章　多元函數
  • §1　基本概念
  • §2　連續函數
  • §3　多元函數的導數及微分
  • §4　高階導數及高階微分
  • §5　極值．最大值及最小值
• 第六章　函數行列式及其應用
  • §1　函數行列式的性質
  • §2　隱函數
  • §3　隱函數理論的一些應用
  • §4　換元法
• 第七章　微分學在幾何上的應用
  • §1　曲線及曲面的解析表示法
  • §2　切線及切面
  • §3　曲線的相切
  • §4　平面曲線的長
  • §5　平面曲線的曲率
• 附錄　函數擴充的問題

第二卷

• 第八章　原函數（不定積分）
  • §1　不定積分與它的計算的最簡單方法
  • §2　有理式的積分
  • §3　某些含有根式的函數的積分
  • §4　含有三角函數與指數函數的表達式的積分
  • §5　橢圓積分
• 第九章　定積分
  • §1　定積分的定義與存在條件
  • §2　定積分的一些性質
  • §3　定積分的計算與變換
  • §4　定積分的一些應用
  • §5　積分的近似計算
• 第十章　積分學在幾何學、力學與物理學中的應用
  • §1　弧長
  • §2　面積與體積
  • §3　力學與物理學的數量的計算
  • §4　最簡單的微分方程
• 第十一章　常數項無窮級數
  • §1　引言
  • §2　正項級數的收斂性
  • §3　任意項級數的收斂性
  • §4　收斂級數的性質
  • §5　累級數與二重級數
  • §6　無窮乘積
  • §7　初等函數的展開
  • §8　藉助於級數作近似計算
  • §9　發散級數的求和法
• 第十二章　函數序列與函數級數
  • §1　一致收斂性
  • §2　級數和的函數性質
  • §3　應用
  • §4　關於冪級數的補充知識
  • §5　復變量的初等函數
  • §6　包絡級數與漸近級數．歐拉－麥克勞林公式
• 第十三章　反常積分
  • §1　積分限為無窮的反常積分
  • §2　無界函數的反常積分
  • §3　反常積分的性質與變形
  • §4　反常積分的特別計算法
  • §5　反常積分的近似計算
• 第十四章　依賴於參數的積分
  • §1　基本理論
  • §2　積分的一致收斂性
  • §3　積分一致收斂性的應用
  • §4　補充
  • §5　歐拉積分

第三卷

• 第十五章　曲線積分、斯蒂爾切斯積分
  • §1　第一型曲線積分
  • §2　第二型曲線積分
  • §3　曲線積分與道路無關的條件
  • §4　有界變差函數
  • §5　斯蒂爾切斯積分
• 第十六章　二重積分
  • §1　二重積分的定義及簡單性質
  • §2　二重積分的計算
  • §3　格林公式
  • §4　二重積分中的變量變換
  • §5　反常二重積分
• 第十七章　曲面面積、曲面積分
  • §1　雙側曲面
  • §2　曲面面積
  • §3　第一型曲面積分
  • §4　第二型曲面積分
• 第十八章　三重積分及多重積分
  • §1　三重積分及其計算
  • §2　高斯－奧斯特洛格拉得斯基公式
  • §3　三重積分中的變量變換
  • §4　場論初步
  • §5　多重積分
• 第十九章　傅里葉級數
  • §1　導言
  • §2　函數的傅里葉展開式
  • §3　補充
  • §4　傅里葉級數的收斂特性
  • §5　與函數可微分性相關的餘項估值
  • §6　傅里葉積分
  • §7　應用
• 第二十章　傅里葉級數（續）
  • §1　傅里葉級數的運算．完全性與封閉性
  • §2　廣義求和法在傅里葉級數上應用
  • §3　函數的三角展開式的唯一性
• 附錄　極限的一般觀點

外部連結

• Gregory Mikhailovich Fichtenholz (Fikhtengol'ts)