介值定理

在数学分析中，介值定理（intermediate value theorem）（又称中间值定理）描述了连续函数在两点之间的连续性：

如果连续函数

f(x)

通过

(a,f(a))

与

(b,f(b))

两点，它也必定通过

[a,b]

区间内的任一点

(c,f(c)),a<c<b

。

直观地比喻，这代表在 $[a,b]$ 区间上可以画出一个连续曲线，而不让笔离开纸面。如果这个连续函数是光滑曲线，其任二点间的光滑性可由均值定理来描述。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在这个证明中，他附带证明了波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理。

定理

假设 $I=[a,b]$ 是一个实数里的闭区间，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是连续函数，那么其像集 $f(I)$ 也是区间。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。换言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等价的形式表述：假设 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是连续函数，且实数 $u$ 满足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，则存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

证明

先证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$ ；第二种情况也类似。

设 $S$ 为 $[a,b]$ 内所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那么 $S$ 是非空的，因为 $a$ 是 $S$ 的一个元素，且 $S$ 是上有界的，其上界为 $b$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界 $c=\mathrm {sup}$ $S$ 一定存在。我们来证明 $f(c)=u$ 。

假设 $f(c)>u$ 。那么 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因为 $f$ 是连续函数。但是，这样一来，当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是说，对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因此 $c-\delta$ 是 $S$ 的一个上界，与我们假设 $c$ 是最小上界以及 $c-\delta <c$ 矛盾。

假设 $f(c)<u$ 。根据连续性，存在一个 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那么对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大于 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，这与 $c$ 的定义矛盾。