藏本模型
藏本模型(Kuramoto model)是一種用來描述同步的數學模型,由日本物理學家藏本由紀(Kuramoto Yoshiki)首先提出[1][2]。具體說來,它描述了大量耦合振子的同步行為[3][4]。這個模型原本是為了描述化學振子、生物振子而構建,後發現具有廣泛的應用,例如神經振盪[5][6][7],以及振盪火焰的動力學[8][9]。驚人的是,一些物理系統的行為也符合這個模型,比如耦合約瑟夫森結的陣列[10]。
這個模型假設,所有振子都是完全相同的或幾乎完全相同的,相互之間的耦合很弱、並且任意兩個振子之間的相互作用強度取決於它們相位差的正弦。
定義
在藏本模型最常見的版本中,每個振子都有一個固有的自然頻率,並與所有其它振子以相同的強度耦合。驚人的是,在的極限下,通過巧妙的變換並使用平均場方法,這個完全非線性的模型是可以精確求解的。
這個模型最常見的形式由以下方程組給出:
系統由個極限環振子組成,是第個振子的相位,是耦合強度。
也可以在系統中加入噪聲。這種情況下,方程變為
其中是漲落,並且是時間的函數。如果考慮白噪聲的情況,則:
其中代表噪聲強度。
變換
使得這個模型(至少在的極限下)能夠精確求解的變換如下所示:
定義「序」參量
表徵了這群振子的相位相關性,是平均相位。方程兩邊乘以,只考慮虛部得到:
因此振子的方程組就不是顯式耦合的;相反,序參量支配了系統的行為。通常還會做進一步的變換,變換到一個轉動的坐標系,其中所有振子相位的統計平均為零(即)。最終,方程變為:
大N極限
考慮的情況。自然頻率的分布記為(假設已經歸一化)。設在時刻,在所有自然頻率為的振子中,相位為的振子所占比例為。歸一化要求
振子密度的連續性方程為
其中是振子的漂移速度。
最終,在連續統極限下重新寫出序參量。應該用系綜平均來代替,求和替換為積分,得到
解
所有振子隨機漂移的不相關態對應均勻分布解。這種情況,振子之間沒有關聯。系統整體處於統計穩定態,儘管每個振子單獨來看都在以自然頻率不停運動。
當耦合足夠強時,可能會出現完全同步的解。在完全同步態中,所有振子以相同頻率運動,但相位可以不同。
部分同步是只有一些振子同步,而另一些振子自由漂移的狀態。從數學上來說,對鎖相的振子
對漂移的振子,
與哈密頓系統的聯繫
耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密頓系統中[11],哈密頓量具有形式:
用正則變換變成作用量-角度的形式,作用量為,角度(相位),在作用量為常數的不變流形上就是藏本動力學。變換後的哈密頓量
哈密頓運動方程為
因為,所以確定的流形是不變的,並且相位動力學就是藏本模型的動力學。這類哈密頓系統描述了某些量子-經典系統,包括玻色-愛因斯坦凝聚。
模型的變體
模型有兩種類型的變體,一種改變模型的拓撲結構,另一種改變耦合函數的形式。
改變拓撲
除了具有全連拓撲的原始模型,足夠稠密的複雜網絡拓撲也可以用同樣的平均場處理[12]。而對於局域的行為,例如鏈形或環形網絡上的情況,不能再使用經典的平均場方法,所以只能具體問題具體分析,儘可能利用對稱性獲取解的信息。
改變相位的相互作用
藏本把兩個振子之間的相位相互作用用第1個傅立葉分量來近似,即,其中。通過把高階傅立葉分量包括進來,可以得到更好的近似
例如,對於弱耦合Hodgkin-Huxley神經元的網絡,其同步行為可以用一些振子來表示,這些振子的相互作用函數保留前四階傅立葉分量[13]。高階項的引入也能帶來有趣的同步現象,例如異宿環[14]、部分同步態[15]、以及奇美拉態[16]。
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