User:Changsu Wang/沙盒

算术动力学（arithmetic dynamics）是结合了动力系统与数论的数学领域。经典的离散动力学研究复平面或实直线到自身的映射的迭代。而算术动力学则研究整数、有理数、p进数、代数数在多项式或有理函数的重复作用下的数论性质。基本的目标是用底层的几何结构来描述算术性质。

下表描述了丢番图方程与动力系统之间的大致对应：

丢番图方程	动力系统
簇上的有理点和整点	轨道上的有理点和整点
阿贝尔簇上的有限阶点	Preperiodic points of a rational function

设S是一个集合，$F:S\to S$是S到自身的映射。F的n次迭代记为

$F^{(n)}=\underbrace {F\circ F\circ \cdots \circ F} _{n{\text{个}}}$

对于点$P\in S$，若存在某个整数$n>1$使得$F^{(n)}(P)=P$，则称为周期点。如果存在$k\geq 1$使得点

在数学中，一元域（field with one element）是假想的只有一个元素的有限域。这个对象记做$\mathbb {F} _{1}$，或用一个双关语$\mathbb {F} _{\text{un}}$（un是法语的数字1，同时Fun也是英语“有趣，玩笑”）。“一元域”这个名称以及记号$\mathbb {F} _{1}$仅仅是启发性的，因为在经典的抽象代数中没有一个元素的域。传统的抽象代数以集合与运算作为基本组件，而$\mathbb {F} _{1}$指的是应该有一种方法，用更灵活的对象来代替传统抽象代数中的组件。尽管这些理论中还没有单个元素的域，但是有特征为1的类似于域的对象。

$\mathbb {F} _{1}$不可能是域，因为所有的域都至少包含两个不同的元素，加法单位元0与乘法单位元1。即使把这个限制去掉，一个元素的环只能是零环，表现出的性质并不像域。相反，大部分$\mathbb {F} _{1}$的理论完全取代了抽象代数。向量空间和多项式环之类的数学对象可以转换到新理论中。这是我们能在新的基础上建立交换代数和代数几何。$\mathbb {F} _{1}$的理论有一个重要特征，它容许一些经典的抽象代数所没有的对象，其中一个就类似于特征为1的域。

$\mathbb {F} _{1}$的可能性最早由雅克·蒂茨于1956年提出，并于1957年发表。$\mathbb {F} _{1}$与非交换几何相关，也与黎曼猜想的一个可能的证明相关。已经提出了许多$\mathbb {F} _{1}$的理论，但还不清楚是否有一个理论能给出所有想要的性质。

性质

数学家期望$\mathbb {F} _{1}$具有以下性质：

• 有限集既是$\mathbb {F} _{1}$上的仿射空间，又是$\mathbb {F} _{1}$上的射影空间。
• 外尔群是$\mathbb {F} _{1}$上的单代数群：给定一个半单代数群的登金图，其外尔群是$\mathbb {F} _{1}$上的半单代数群。
• 仿射概型$\operatorname {spec} {\mathbb {Z} }$是$\mathbb {F} _{1}$上的曲线。
• 群是$\mathbb {F} _{1}$上的霍普夫代数。
• 集合上的群作用是$G$在$\mathbb {F} _{1}$上的射影表示，$G$就是群霍普夫代数$\mathbb {F} _{1}[G]$。
• $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {F} _{1})$的$\zeta$函数是$\zeta (s)=s(s-1)\cdots (s-n)$。

计算

集合是射影空间

对于有限域$\mathbb {F} _{q}$上的$n-1$维射影空间$\mathbb {P} (\mathbb {F} _{q}^{n})=\mathbb {P} ^{n-1}(\mathbb {F} _{q})$，其元素个数等于q-整数

$[n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}$

令$q=1$得到$[n]_{q}=n$。