表面張力波

水面漣漪

挪威厄克斯內斯Lifjord 的漣漪

水滴產生的漣漪

表面張力波（capillary wave）是延著液體相邊界行進的波，其動力學及相速度是由表面张力的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為漣漪。

表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而相速度約0.2-0.3公尺/秒。

若液體表面的波是受到表面张力、重力及液體慣性的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。

漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的波濤。

色散关系

色散关系說明在波當中波长和頻率之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。

一般的表面張力波

在表面張力波中的色散关系是

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},$

其中ω是角频率，σ是表面张力，ρ是較重流體的密度，ρ'是較輕流體的密度，k是波數。其波长為 $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}.$ 若在流體和真空中的邊界，其色散关系簡化為是

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.$

重力-表面張力波

在深水表面的重力-表面張力波（上方的密度為0，ρ′ = 0）。相速度及群速度除以$\scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}$後，會是相對波長倒數的函數
 · 藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度
 · 實線：重力-表面張力波色散关系。
 · 點線：深水重力波的色散關係
 · 虛點線：實際深水重力波的色散關係

一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下：

$\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),$

其中g為標準重力，ρ和ρ'分別是二種流體的密度（ρ > ρ‘）。第一項的$(\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')$因子是阿特伍德数。

重力波的範圍

若波長較大（波數k = 2π/λ較小），主要會受第一項，重力波的影響。

若到極限時，波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。

表面張力波範圍

若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。

相速度的最小值

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Between these two limits is a point at which the dispersion caused by gravity cancels out the dispersion due to the capillary effect. At a certain wavelength, the group velocity equals the phase velocity, and there is no dispersion. At precisely this same wavelength, the phase velocity of gravity–capillary waves as a function of wavelength (or wave number) has a minimum. Waves with wavelengths much smaller than this critical wavelength λ_m are dominated by surface tension, and much above by gravity. The value of this wavelength and the associated minimum phase speed c_m are:

$\lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.$

For the 地球大气层–水 interface, λ_m is found to be 1.7 cm（0.67英寸）, and c_m is 0.23 m/s（0.75 ft/s）.

If one drops a small stone or droplet into liquid, the waves then propagate outside an expanding circle of fluid at rest; this circle is a 焦散 which corresponds to the minimal group velocity.

相關條目

• 毛细现象
• 水波色散
• 流體管
• 波濤
• 兩相流
• Airy波理論

參考資料

• Longuet-Higgins,M. S. The generation of capillary waves by steep gravity waves. Journal of Fluid Mechanics. 1963, 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. ISSN 1469-7645. doi:10.1017/S0022112063000641. 
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9. 
• Phillips, O. M. The dynamics of the upper ocean 2nd. Cambridge University Press. 1977. ISBN 0-521-29801-6. 
• Dingemans, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapore. 1997: 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2. 
• Safran, Samuel. Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes. Addison-Wesley. 1994. 
• Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. Order-disorder transition in capillary ripples. Physical Review Letters. 1989, 62 (4): 422–425. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. PMID 10040229. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422. 

外部連結

• Capillary waves entry at sklogwiki