反三角函數

反三角函數示意圖

幾個反三角函數的圖形，其中，反餘切以複變分析定義，因此在原點處出現不連續斷點。

在數學中，反三角函數是三角函數的反函數。

數學符號

符號$\sin ^{-1},\cos ^{-1}$等常用於$\arcsin ,\arccos$等。但是這種符號有時在$\sin ^{-1}x$和${\frac {1}{\sin x}}$之間易造成混淆。

在編程中，函數$\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$通常叫做$\mathrm {asin}$, $\mathrm {acos}$, $\mathrm {atan}$。很多程式語言提供兩自變量atan2函數，它計算給定$y$和$x$的${\frac {y}{x}}$的反正切，但是值域為$[-\pi ,\pi ]$。

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  在笛卡爾平面上$f(x)=\arcsin x$(紅)和$f(x)=\arccos x$(綠)函數的常用主值的圖像。
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  在笛卡爾平面上$f(x)=\arctan x$(紅)和$f(x)=\operatorname {arccot} x$(綠)函數的常用主值的圖像。
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  在笛卡爾平面上$f(x)=\operatorname {arcsec} x$(紅)和$f(x)=\operatorname {arccsc} x$(綠)函數的常用主值的圖像。

主值

下表列出基本的反三角函數。

名稱	常用符號	定義	定義域	值域
反正弦	$y=\arcsin x$	$x=\sin y$	$[-1,1]$	$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
反餘弦	$y=\arccos x$	$x=\cos y$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$
反正切	$y=\arctan x$	$x=\tan y$	$\mathbb {R}$	$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$
反餘切	$y=\operatorname {arccot} x$	$x=\cot y$	$\mathbb {R}$	$(0,\pi )$
反正割	$y=\operatorname {arcsec} x$	$x=\sec y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$
反餘割	$y=\operatorname {arccsc} x$	$x=\csc y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$

（注意：某些數學教科書的作者將$\operatorname {arcsec}$的值域定為$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})$因為當$\tan$的定義域落在此區間時，$\tan$的值域$\geq 0$，如果$\operatorname {arcsec}$的值域仍定為$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$，將會造成$\tan(\operatorname {arcsec} x)=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$，如果希望$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$，那就必須將$\operatorname {arcsec}$的值域定為$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})$，基於類似的理由$\operatorname {arccsc}$的值域定為$(-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$）

如果$x$允許是複數，則$y$的值域只適用它的實部。

反三角函數之間的關係

餘角：

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

負數參數：

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\arctan(-x)=-\arctan x\!$

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!$

倒數參數：

$\arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x$

$\arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x$

$\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\$ $\ x>0$

$\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\$ $\ x<0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\$ $\ x>0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\$ $\ x<0$

$\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$

$\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

如果有一段正弦表：

$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},$ $\ 0\leq x\leq 1$

$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

注意只要在使用了複數的平方根的時候，我們選擇正實部的平方根(或者正虛部，如果是負實數的平方根的話)。

從半角公式$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$，可得到：

$\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},$ $-1<x\leq +1$

$\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

三角函數與反三角函數的關係

通過定義可知：

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	圖示
$\arcsin x$	$\sin(\arcsin x)=x$	$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos x)=x$	$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan x)=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

一般解

每個三角函數都周期於它的參數的實部上，在每個$2\pi$區間內通過它的所有值兩次。正弦和餘割的周期開始於$2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$結束於$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$（這裡的$k$是一個整數），在$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$到$2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$上倒過來。餘弦和正割的周期開始於$2\pi k$結束於$2\pi k+\pi$，在$2\pi k+\pi$到$2\pi k+2\pi$上倒過來。正切的周期開始於$2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$結束於$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$，接著(向前)在$2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$到$2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$上重複。餘切的周期開始於$2\pi k$結束於$2\pi k+\pi$，接著（向前）在$2\pi k+\pi$到$2\pi k+2\pi$上重複。

這個周期性反應在一般反函數上：

$\sin y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\cos y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\tan y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\arctan x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}$

$\cot y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}$

$\sec y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\csc y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

反三角函數的導數

對於實數$x$的反三角函數的導函數如下：

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\\end{aligned}}$

舉例說明，設$\theta =\arcsin x\!$，得到：

${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|<1$，其他導數公式同理可證。

表達為定積分

積分其導數並固定在一點上的值給出反三角函數作為定積分的表達式：

${\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}$

當$x$等於1時，在有極限的域上的積分是瑕積分，但仍是良好定義的。

無窮級數

如同正弦和餘弦函數，反三角函數可以使用無窮級數計算如下：

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq -4\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

歐拉發現了反正切的更有效的級數：

$\arctan x=\infty {x}{1+x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}$。

（注意對x= 0在和中的項是空積1。）

反三角函數的不定積分

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arcsec} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arccsc} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\end{aligned}}$

使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。

舉例

使用$\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$，設

${\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}$

則

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

換元

$k=1-x^{2}.\,$

則

$\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x$

且

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}$

換元回x得到

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

加法公式和減法公式

$\arcsin x+\arcsin y$

$\arcsin x+\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\leq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x-\arcsin y$

$\arcsin x-\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\geq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

$\arccos x+\arccos y$

$\arccos x+\arccos y=\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y\geq 0$

$\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y<0$

$\arccos x-\arccos y$

$\arccos x-\arccos y=-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x\geq y$

$\arccos x-\arccos y=\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x<y$

$\arctan x+\arctan y$

$\arctan \,x+\arctan \,y=\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},xy<1$

$\arctan \,x+\arctan \,y=\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x>0,xy>1$

$\arctan \,x+\arctan \,y=-\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x<0,xy>1$

$\arctan x-\arctan y$

$\arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},xy>-1$

$\arctan x-\arctan y=\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x>0,xy<-1$

$\arctan x-\arctan y=-\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x<0,xy<-1$

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y$

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y$

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y$

$\arcsin x+\arccos x$

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},|x|\leq 1$

$\arctan x+\operatorname {arccot} x$

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}$

參見

• 正切半角公式
• 平方根

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Inverse Trigonometric Functions. MathWorld. 
• http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html