金錢的時間價值

金融學中，金錢的時間價值、货币的时间价值或資金的時間價值（英語：Time Value of Money，TVM）是一種表示「金錢價值會隨時間改變」的重要基本概念。在金融市場裡，資金就好比如一種「商品」，而利率則可以稱為或的資金的價格。當借款者與貸放者在利率上達成協議時，借貸契約則成立。同理，就整個市場而言，當所有資金供給者與需求者達成價格上的妥協後，均衡利率隨即被決定。利率的出現，代表了「在金融體系的運作之下，今日的一塊錢在未來可以產生額外的價值」。換句話說，今日的一塊錢會比明日的一塊錢還要值錢，而後日的一塊錢又更會比明日的一塊錢還要更值錢。貨幣的這種特性，稱為金錢的時間價值。金錢的時間價值的出現代表了一定量的金錢，會在不同的時間點擁有著不同的價值。貨幣在現在的價值稱為現值（Present Value），未來的價值稱為終值（Future Value），也就是複利的結果。至於複利，則指定期以本利和計算一次利息的計息方式。

終值與現值

以儲蓄為例，若今一人將他的一萬元存入銀行內為期一年的定期存款帳戶，利率為 8%，每年複利一次，則該人在一年一後可以提領的本金將會是 $10,000 × (1+8%) = $10,800 。此一萬元生出了 800 元的利息，經濟學上來說，此人一萬元存款的終值在一年後就是 10,800 元。進一步上來說，將以上的計算過程一般化後，即可得：

$\left(F/P\right)\ =\ (1+r)^{n}$

其中，P 是現值，F 是終值，r 是每期必要報酬率（Required Rate of Return Per Time Period），n 是期數（Number of Time Periods）。不難發現，在投資期間不變的場合，隨著利率的上升，終值將會越高；而在相同的利率水準下，投資期越長，息票發給次數較多，終值也會越高。而如果將此式等號兩側取倒數，則可以得到：

$\left(P/F\right)\ =\ {1 \over (1+r)^{n}}$

如上式，將終值轉換為現值的過程，稱為折現，其所使用的利率則稱為折現率。折現的意義在於可以將未來不同時間點的貨幣價值換為今日的價值，有助於財務上進行價值大小的比較。由數學式中可以發現，在投資期間不便的情況下，折現率越高，表示未來的已知的貨幣價值是經由較高的利率複利而來，所以其現值會較低；而在相同的利率水準下，投資期間越長，表示未來的貨幣價值是經過較長時間複利而來，其現值也將會較低。

年金的時間價值

参见：年金

年金（Annuity）是指在一個特定時間內，定期支付的等額現金流量，也就是以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金的一種。年金隨著支付時間的不同，有不同名稱。其中，開始支付的時間點始於支付約定成立後的第一期期末者，稱為普通年金（Ordinary Annuity）；而若支付始於支付約定成立後的第一期期初者，稱為期初年金（Due Annuity）。要注意的是，期初年金由於幾乎是在約定成立時就已經支付了第一次年金，因此總括來說，若結束的時點相同，則計算上利期初年金的複利會比普通年金還要多一次。

由於年金是一連串的定期、等額現金支付，因此年金的「年金終值」極為這一連串等額現金支付的個別終值總和。若有一個人每年都支付 $1,000 年金，每年年尾付款（普通年金），持續五年，利率 10%，則不難計算得該年金其終值會是： $1,000 × (1+10%)⁴ + $1,000 × (1+10%)³ + $1,000 × (1+10%)² + $1,000 × (1+10%)¹ = $6,105.1。而若改為期初年金，在每年年頭付款，則由於在每期期初即支付了 $1,000，因此在複利過程中，每期期初年金的終值都較普通年金多複利了一次，其終值將會為 $1,000 × (1+10%)⁵ + $1,000 × (1+10%)⁴ + $1,000 × (1+10%)³ + $1,000 × (1+10%)² + $1,000 × (1+10%)¹ = $6,715.6。將以上算式一般化，透過等比級數公式，則可以得到第 n 個時間點為計算時點之普通年金終值為：

$FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}=FIVFA(i,n)$

其中，A 是每期固定支付金額，i 為利率水準。FIVFA 為年金終值利率因子，可以由查表所得。而期初年金因為多複利一次，故其年金終值為：

$FV(AD)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}\cdot (1+i)=FIVFA(i,n)\cdot (1+i)$

透過回推上述公式，則可以由年金終值推回年金現值。回推年金現值就相當於是在問「如果未來的那一天，年金內的金額被一次性地還給了付款人，則到時這筆還款的金額，就相當於是在『現在』這個時間點，一次性地還給了付款人多少錢呢？」，或者，也可以理解為是在問「如果年金付款人希望在未來的某一天，以某一筆特定的價格賣掉屆時他已經付了幾次的年金，那麼，他未來到時會拿到的這筆錢，就相當於『現在』這個時間點，他手上握著多少的現金呢？」，換句話說，就是在問「在未來某個時間點價值金額為某個數值的年金，在現在這個利率水準下，對我來說的價值相當於多少錢？」現在這個時間點上手握的現金，會在未來一次一次的支付中，一期一期的複利成為未來的年金終值。金額年金的折現即為一系列支付金額的折現值。對普通年金來說，其數學表達為：

$PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]$

對期初年金來說，則為：

$PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]\cdot (1+i)$

永續年金

参见：永續年金

世界上大多數的年金都會有一定的支付期間，然而有一種年金的支付是沒有期限的，此種年金稱為永續年金。由於永續年金沒有限，計算其終值可視為無意義。真正有價值者應為其之現值。當利率小於 1 時，也就是絕大多數的情況，不難由等比級數公式導出一個普通永續年金的現值為：

$PV(A)\,=frac{PMT}{i}$

其中，i 為利率，PMT 為每期支付的金額。永續年金的現值即為所有個別 PMT 的現值總和；然而由於是無限期支付，因此在符合收斂的條件下，無窮等比級數的應用才能得以實現。期初永續年金的現值則為普通永續年金的現值再乘上 (1+i)。。

参见

• 财务管理

參考文獻

書籍

• 劉繼偉. 财务成本管理. 北京市: 中国财政经济出版社. 2012. ISBN 9787509534571. 
• 謝劍平. 財務管理原理. 臺北市: 智勝文化. 2008. ISBN 9789574141920.