金錢的時間價值
金融學中,金錢的時間價值、货币的时间价值或資金的時間價值(英語:Time Value of Money,縮寫為TVM)是一種表示「金錢價值會隨時間改變」的重要基本概念。在金融市場裡,資金即是可供交易的商品,以「利率」為價格行販售。當借款者與貸放者在利率上達成協議時,借貸契約則成立。同理,就整個市場而言,當所有資金供給者與需求者達成價格上的妥協後,均衡利率即被決定。而此利率的出現便會導致「今天擁有得的錢,在未來可以產生額外的價值」。而這種今日的一塊錢會比明日的一塊錢還要值錢,而後日的一塊錢又更會比明日的一塊錢還要更值錢的現象,就是金錢的時間價值。一筆資金,在現在的價值稱為現值(Present Value),未來的價值稱為終值(Future Value)。終值也就是複利的結果。複利是指定期以本利和計算一次利息的計息方式[1]。
終值與現值
以儲蓄為例,若今一人將他的一萬元存入銀行內為期一年的定期存款帳戶,利率為8%,每年複利一次,則該人在一年一後可以提領的金額將會是10,000×(1+8%)=10,800元 。此一萬元生出了800元的利息,經濟學上來說,此人一萬元存款的終值在一年後就是 10,800元。進一步上來說,將以上的計算過程一般化後,即可得[2]:
其中,P是現值,F是終值,r是每期必要報酬率(Required Rate of Return Per Time Period),n是期數(Number of Time Periods)。不難發現,在投資期間不變的場合,隨著利率的上升,終值將會越高;而在相同的利率水準下,投資期越長,息票發給次數較多,終值也會越高。而如果將此式等號兩側取倒數,則可以得到[3]:
如上式,將終值轉換為現值的過程,稱為折現,其所使用的利率則稱為折現率。折現的意義在於可以將未來不同時間點的貨幣價值換為今日的價值,有助於財務上進行價值大小的比較。由數學式中可以發現,在投資期間不變的情況下,折現率越高,表示未來的已知的貨幣價值是經由較高的利率複利而來,所以其現值會較低;而在相同的利率水準下,投資期間越長,表示未來的貨幣價值是經過較長時間複利而來,其現值也將會較低[3]。
年金的時間價值
年金(Annuity)是指在一個特定時間內,定期支付的等額現金流量,也就是以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如,分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等,都属于年金的一種[4]。年金隨著支付時間的不同,有不同名稱。其中,開始支付的時間點始於支付約定成立後的第一期期末者,稱為普通年金(Ordinary Annuity);而若支付始於支付約定成立後的第一期期初者,稱為期初年金(Due Annuity)。要注意的是,期初年金由於幾乎是在約定成立時就已經支付了第一次年金,因此總括來說,若結束的時點相同,則計算上利期初年金的複利會比普通年金還要多一次[5]。
由於年金是一連串的定期、等額現金支付,因此年金的「年金終值」即為這一連串等額現金支付的個別終值總和。若有一個人每年都支付 $1,000 年金,每年年尾付款(普通年金),持續五年,利率 10%,則不難計算得該年金其終值會是: $1,000 × (1+10%)⁴ + $1,000 × (1+10%)³ + $1,000 × (1+10%)² + $1,000 × (1+10%)¹ = $6,105.1。而若改為期初年金,在每年年頭付款,則由於在每期期初即支付了 $1,000,因此在複利過程中,每期期初年金的終值都較普通年金多複利了一次,其終值將會為 $1,000 × (1+10%)⁵ + $1,000 × (1+10%)⁴ + $1,000 × (1+10%)³ + $1,000 × (1+10%)² + $1,000 × (1+10%)¹ = $6,715.6。將以上算式一般化,透過等比級數公式,則可以得到第 n 個時間點為計算時點之普通年金終值為[6]:
其中,A 是每期固定支付金額,i 為利率水準。FIVFA 為年金終值利率因子,可以由查表所得。而期初年金因為多複利一次,故其年金終值為[7]:
透過回推上述公式,則可以由年金終值推回年金現值。回推年金現值就相當於是在問「如果未來的那一天,年金內的金額被一次性地還給了付款人,則到時這筆還款的金額,就相當於是在『現在』這個時間點,一次性地還給了付款人多少錢呢?」,或者,也可以理解為是在問「如果年金付款人希望在未來的某一天,以某一筆特定的價格賣掉屆時他已經付了幾次的年金,那麼,他未來到時會拿到的這筆錢,就相當於『現在』這個時間點,他手上握著多少的現金呢?」,又或者是在問「在未來某個時間點價值金額為某個數值的年金,在現在這個利率水準下,對我來說的價值相當於多少錢?」一個人現在這個時間點上所手握的現金,會在未來一次一次的支付中,一期一期的複利成為未來的年金終值。而一筆年金的折現即為一系列支付金額的折現值。對普通年金來說,其數學表達為[8]:
對期初年金來說,則為[8]:
永續年金
世界上大多數的年金都會有一定的支付期間,然而有一種年金的支付是沒有期限的,此種年金稱為永續年金。由於永續年金沒有限,計算其終值可視為無意義。真正有價值者應為其之現值。當利率小於 1 時,也就是絕大多數的情況,不難由等比級數公式導出一個普通永續年金的現值為[9]:
其中,i 為利率,PMT 為每期支付的金額。永續年金的現值即為所有個別 PMT 的現值總和;然而由於是無限期支付,因此在符合收斂的條件下,無窮等比級數的應用才能得以實現。期初永續年金的現值則為普通永續年金的現值再乘上 (1+i)[9]。
参见
參考文獻
書籍
- 劉繼偉. 财务成本管理. 北京市: 中国财政经济出版社. 2012. ISBN 9787509534571.
- 謝劍平. 財務管理原理. 臺北市: 智勝文化. 2008. ISBN 9789574141920.
參考文獻清單
- ^ 謝劍平 & 2008年,第32頁.
- ^ 謝劍平 & 2008年,第33頁.
- ^ 3.0 3.1 謝劍平 & 2008年,第34頁.
- ^ 劉繼偉 & 2012年,第82頁.
- ^ 謝劍平 & 2008年,第35頁至第36頁.
- ^ 謝劍平 & 2008年,第36頁至第38頁.
- ^ 謝劍平 & 2008年,第38頁至第39頁.
- ^ 8.0 8.1 謝劍平 & 2008年,第39頁至第41頁.
- ^ 9.0 9.1 謝劍平 & 2008年,第42頁.