Γ函数

Γ函数在实轴上的函数图形

在数学中，$\Gamma \,$函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。如果$n$为正整数，则：

$\Gamma (n)=(n-1)!$

对于实数部份为正的复数$z$，伽玛函数定义为：

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\,{\rm {d}}t$

此定义可以用解析延拓原理，拓展到除去非正整数的整个复数域上。

在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。

定义

$\Gamma \,$函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {{d}t}}$

对复数$z\,$，我们要求$\mathrm {Re} (z)>0$。

$\Gamma$函数还可以通过对$\mathrm {e} ^{-t}\,$做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： $\Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}$

这样定义的$\Gamma$函数在全平面除了$z=0,-1,-2,\ldots$以外的地方解析。

$\Gamma$函数也可以用无穷乘积的方式表示：

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}$

这说明$\Gamma (z)$是亚纯函数，而${\frac {1}{\Gamma (z)}}$是全纯函数

无穷乘积

$\Gamma \,$函数可以用无穷乘积表示：

$\Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}$

$\Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}$

其中$\gamma \,$是欧拉-马歇罗尼常数。

$\Gamma$积分

$1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x$

$\implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x$

递推公式

$\Gamma \,$函数的递推公式为： $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$，

对于正整数$n\,$，有

$\Gamma (n+1)=n!$，

可以说$\Gamma \,$函数是阶乘的推广。

递推公式的推导

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x$

我们用分部积分法来计算这个积分：

$\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x$

当$x=0\,$时，${\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0$。当$x\,$趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0$。

因此第一项$\left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$变成了零，所以：

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x$

等式的右面正好是$n\Gamma (n)\,$。因此，递推公式为：

${\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,$。

重要性质

• 当$z\to 0^{+}$时，$\Gamma (z)\to +\infty$
• 欧拉反射公式：

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

由此可知当$\ z={\tfrac {1}{2}}$时，$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$。

• 乘法定理：

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$。

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)$。

• 此外

$\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}$

此式可用来协助计算t分布机率密度函数、卡方分布机率密度函数、F分布机率密度函数等的累计机率。

• 极限性质

对任何实数α

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R}$

斯特灵公式

Γ函数与斯特灵公式

$\Gamma (z+1)$（蓝色）、${\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}$（橘色），数字越大${\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$会越趋近$\Gamma (z+1)$。但${\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}$会在负值则会因为出现虚数而无法使用。

主条目：斯特灵公式

斯特灵公式能用以估计$\Gamma (z)$函数的增长速度。公式为：

$\Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$

其中e约等于2.718281828459。

特殊值

${\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}$

导数

Γ函数的微分

Γ函数（蓝色）、Γ函数的微分（橘色），其中，大于50与小于-30的部分被截掉。

对任何复数z，满足 Re(z) > 0，有

${\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt$

于是，对任何正整数 m

$\Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,$

其中γ是欧拉-马歇罗尼常数。

复数值

$\Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,$

解析延拓

Γ函数的绝对值函数图形

注意到在$\Gamma$函数的积分定义中若取$z\,$为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

并注意到函数$\sin(\pi z)\,$在整个复平面上有解析延拓，我们可以在$\mathrm {Re} (z)<1$时设

$\Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}$

从而将$\Gamma \,$函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在$z=0,-1,-2,-3\cdots$有单极点，留数为

$\mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}$

程式实现

许多程式语言或试算表软体有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意实数的伽玛函数的值。

• 例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在没有提供Γ函数的程式环境中，也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十进制可获得有效数字八位数的精确度，已足以填满单精度浮点数的二进制有效数字24位：

$\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$

参见

• 双伽玛函数
• 多伽玛函数

外部链接

• 神奇的Gamma函数(上)
• 神奇的Gamma函数(下)