Γ函數

Γ函數在實數軸上的函數圖形

在數學中，$\Gamma \,$函數，也叫做伽瑪函數（Gamma函數），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果$n$為正整數，則：

$\Gamma (n)=(n-1)!$

對於實數部份為正的複數$z$，伽瑪函數定義為：

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\,{\rm {d}}t$

此定義可以用解析延拓原理，拓展到除去非正整數的整個複數域上。

在機率論中常見此函數，在組合數學中也常見。

定義

$\Gamma \,$函數可以通過歐拉（Euler）第二類積分定義：

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {{d}t}}$

對複數$z\,$，我們要求$\mathrm {Re} (z)>0$。

$\Gamma$函數還可以通過對$\mathrm {e} ^{-t}\,$做泰勒展開，解析延拓到整個複數平面： $\Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}$

這樣定義的$\Gamma$函數在全平面除了$z=0,-1,-2,\ldots$以外的地方解析。

$\Gamma$函數也可以用無窮乘積的方式表示：

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}$

這說明$\Gamma (z)$是亞純函數，而${\frac {1}{\Gamma (z)}}$是全純函數

無窮乘積

$\Gamma \,$函數可以用無窮乘積表示：

$\Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}$

$\Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}$

其中$\gamma \,$是歐拉-馬歇羅尼常數。

$\Gamma$積分

$1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x$

$\implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x$

遞迴公式

$\Gamma \,$函數的遞迴公式為： $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$，

對於正整數$n\,$，有

$\Gamma (n+1)=n!$，

可以說$\Gamma \,$函數是階乘的推廣。

遞迴公式的推導

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x$

我們用分部積分法來計算這個積分：

$\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x$

當$x=0\,$時，${\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0$。當$x\,$趨於無窮大時，根據羅必達法則，有：

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0$。

因此第一項$\left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$變成了零，所以：

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x$

等式的右面正好是$n\Gamma (n)\,$。因此，遞迴公式為：

${\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,$。

重要性質

• 當$z\to 0^{+}$時，$\Gamma (z)\to +\infty$
• 歐拉反射公式：

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

由此可知當$\ z={\tfrac {1}{2}}$時，$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$。

• 乘法定理：

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$。

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)$。

• 此外

$\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}$

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

• 極限性質

對任何實數α

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R}$

斯特靈公式

Γ函數與斯特靈公式

$\Gamma (z+1)$（藍色）、${\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}$（橘色），數字越大${\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$會越趨近$\Gamma (z+1)$。但${\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}$會在負值則會因為出現虛數而無法使用。

主條目：斯特靈公式

斯特靈公式能用以估計$\Gamma (z)$函數的增長速度。公式為：

$\Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$

其中e約等於2.718281828459。

特殊值

${\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}$

導數

Γ函數的微分

Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-30的部分被截掉。

對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有

${\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt$

於是，對任何正整數 m

$\Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,$

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。

複數值

$\Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,$

解析延拓

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在$\Gamma$函數的積分定義中若取$z\,$為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程式

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

並注意到函數$\sin(\pi z)\,$在整個複平面上有解析延拓，我們可以在$\mathrm {Re} (z)<1$時設

$\Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}$

從而將$\Gamma \,$函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在$z=0,-1,-2,-3\cdots$有單極點，留數為

$\mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}$

程式實現

許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函數或對數的Γ函數，例如EXCEL。而對數的Γ函數還要再取一次自然指數才能獲得Γ函數值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函數，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實數的伽瑪函數的值。

• 例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在沒有提供Γ函數的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位元：

$\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$

參見

• 雙伽瑪函數
• 多伽瑪函數

外部連結

• 神奇的Gamma函數(上)
• 神奇的Gamma函數(下)