二項式定理

二項式定理，又稱牛頓公式。

由牛頓(Sir Isaac Newton)於1664-1665期間獲得的。 它指出：

$\left(a+b\right)^{n}=\sum _{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i}$，其中$C_{n}^{i}={\frac {n!}{(n-i)!i!}}$。

等號右邊的多項式叫做二項展開式。

二項展開式的通項即為：

$T_{i}=C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i}$

其i項係數可表示為:$C_{n}^{i}$,即n取i的組合。

因此係數亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle),法國物理學家和數學家帕斯卡(Pascal)於1652年發現該係數圖表，用於解決幾率相關的問題。

中國宋代數學家楊輝在《詳解九章算術》裏有此表。並說明此表引自賈憲《釋鎖算術》,中國習慣稱之為楊輝三角形。

n次的二項式係數對應帕斯卡三角形的n+1行。 如$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 2次的二項式正好對應帕斯卡三角形第3行係數 1 2 1。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

....

帕斯卡三角形性質: 1.每個係數等於上一行的前兩個係數之和。因為$C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$

2.係數個數為n+1

3.n次的二項式係數和為$2^{n}$

4.由1開始逐漸變大,然後變小,回到1。