二项式定理

二项式定理，又称牛顿公式。

由牛顿(Sir Isaac Newton)于1664-1665期间获得的。 它指出：

$\left(a+b\right)^{n}=\sum _{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i}$，其中$C_{n}^{i}={\frac {n!}{(n-i)!i!}}$。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项即为：

$T_{i}=C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i}$

其i项系数可表示为:$C_{n}^{i}$,即n取i的组合。

因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle),法国物理学家和数学家帕斯卡(Pascal)于1652年发现该系数图表，用于解决几率相关的问题。

中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里有此表。并说明此表引自贾宪《释锁算术》,中国习惯称之为杨辉三角形。

n次的二项式系数对应帕斯卡三角形的n+1行。 如$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 2次的二项式正好对应帕斯卡三角形第3行系数 1 2 1。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

....

帕斯卡三角形性质:

1.每个系数等于上一行的前两个系数之和。因为$C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$

2.系数个数为n+1

3.n次的二项式系数和为$2^{n}$

4.由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。