楊輝三角形

帕斯卡三角形 (Pascal's Triangle)

法國物理學家和數學家 布萊士·帕斯卡(Blaise Pascal)於1652年發現該圖表，用於解決幾率相關的問題。

中國宋代數學家楊輝在《詳解九章算術》裏討論這種形式的數表，並說明此表引自宋代賈憲（大約公元十一世紀左右）《釋鎖算術》，所以在中國習慣稱之為楊輝三角形。

帕斯卡三角形同時對應於二項式定理的係數。

n次的二項式係數對應帕斯卡三角形的n+1行。 例如$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 2次的二項式正好對應帕斯卡三角形第3行係數 1 2 1。

這裏是帕斯卡三角形的14行。

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
 1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1

帕斯卡三角形性質：

1.每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大,然後變小,回到1。

2.第n行的係數個數為n個

3.第n行係數和為$2^{n-1}$

4.每個係數等於上一行的左右兩個係數之和。(因為$C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$)。可用此性質寫出整個帕斯卡三角形。