拉马努金Θ函数

拉马努金theta函数是一个由英国数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。

定义

拉马努金theta函数被定义为

$f(a,b)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{k(k+1)/2}b^{k(k-1)/2};/|ab|<1$而其中$f(a,b)=f(b,a)$

对于所有的$\forall a=-1$，拉马努金theta函数取到简单零点。 拉马努金theta函数也可以用q-珀赫哈默尔符号定义，如

$f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }(-b;ab)_{\infty }(ab;ab)_{\infty }$

这说明与其他theta函数类似，拉马努金theta函数也与q-模拟存在紧密联系。它有一个积分表示， $f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2a\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}{1+a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}}\right]dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2b\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}{1+ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\ln(ab)}}t\right)}}\right]dt$

与其他函数的联系

单变量的拉马努金theta函数被定义成

$f(-q)\equiv f(-q,-q^{2})=(q,q)_{\infty };/|q|<1$

此外，拉马努金phi函数，拉马努金psi函数和拉马努金chi函数也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为：

$\varphi (q)\equiv f(q,q)={\frac {(-q,-q)_{\infty }}{(+q,-q)_{\infty }}}$

而它就是第三雅可比theta函数的特例$\varphi (q)=\vartheta _{3}(q)$，它的级数表达是OEIS中的数列A000122。

$\psi (q)\equiv f(q,q^{3})={\frac {(q^{2},q^{2})_{\infty }}{(q,q^{2})_{\infty }}}$

它的级数表达是OEIS中的数列A010054。

$\chi (q)\equiv f(-q,q^{2})$

它的级数表达是OEIS中的数列A000700。

参考资料

• 埃里克·韦斯坦因. Ramanujan Theta Functions. MathWorld.