方差

此条目的主題是變異數，又稱方差、變方。关于与「方差」標題相近或相同的条目，請見「變異係數」。

方差（英語：Variance），應用數學裡的專有名詞。在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二階主動差，恰巧也是它的二阶累积量。這裡把複雜說白了，就是將各個誤差之平方（而非取絕對值，使之肯定為正數），相加之後再除以總數，透過這樣的方式來算出各個數據分佈、零散（相對中心點）的程度。繼續延伸的話，方差的正平方根称为该随机变量的标准差（此為相對各個數據點間），方差除以期望值归一化的值叫分散指数，标准差除以期望值归一化的值叫变异系数。

定义

设X为服从分布F的随机变量， 如果E[X]是随机变数X的期望值（平均數μ=E[X]）
随机变量X或者分布F的方差為：

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]$

这个定义涵盖了连续、离散、或兩者都有的隨機變數。方差亦可當作是隨機變數與自己本身的共變異數：

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X)$

方差典型的標記有Var(X),　$\scriptstyle \sigma _{X}^{2}$,　或是$\sigma ^{2}$，其表示式可展開成為：

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}$

上述的表示式可記為"平方的期望減掉期望的平方"。

離散隨機變數

如果隨機變數X是具有機率質量函數的離散機率分佈x₁ ↦ p₁, ..., x_n ↦ p_n，則：

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}^{2})-\mu ^{2}$

此處$\mu$是其期望值, 即：

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}$ .

當X為有n個相等機率值的平均分佈：

$\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\mu ^{2}\right)={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}-\mu ^{2}$

n個相等機率值的方差亦可以點對點間的方變量表示為：

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}$

连续型随机变量

如果随机变量X是連續分布，並對應至概率密度函數f(x)，則其方差為：

$\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}$

此處$\mu$是一期望值，

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,$

且此處的積分為以X為範圍的x定積分（definite integral）
如果一個連續分佈不存在期望值，如柯西分佈（Cauchy distribution），也就不會有方差（不予定义）。

特性

方差不會是負的，因為次方計算為正的或為零：

$\operatorname {Var} (X)\geq 0$

一個常數隨機變數的方差為零，且當一個資料集的方差為零時，其內所有項目皆為相同數值：

$P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0$

方差不變於定位參數的變動。也就是說，如果一個常數被加至一個數列中的所有變數值，此數列的方差不會改變：

$\operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).$

如果所有數值被放大一個常數倍，方差會放大此常數的平方倍：

$\operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X)$

兩個隨機變數合的方差為：

$\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

$\operatorname {Var} (X-Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)-2\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

此數Cov(., .)代表共變異數。

對於$N$個隨機變數$\{X_{1},\dots ,X_{N}\}$的總和：

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})$

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间： L²（Ω, dP），不过这裡的内积和长度跟协方差，标准差还是不大一样。 所以，我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间，也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间， 并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积，而这个内积就是协方差。

一般化

如果X是一个向量其取值范围在實數空间Rⁿ，并且其每个元素都是一个一维随机变量，我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广，其定义为E[(X − μ)(X − μ)^T]，其中μ = E(X)，X^T是X的转置。这个方差是一个非负定的方阵，通常称为协方差矩阵。

如果X是一个複數随机变量的向量（向量中每個元素均為複數的隨機變數），那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)^*]，其中X^*是X的共轭转置向量或稱為埃尔米特向量。根据这个定义，變異數为实数。

历史

「方差」（variance）这个名词率先由羅納德·費雪（英語：Ronald Fisher）在论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。后来「半方差」（semi variance），「亚方差」（hypo variance）,「超方差」（super variance）,「圆方差」（circular variance）与「倒方差」（inverse variance）等类似概念也被逐渐延伸出去。

参见

• 标准差
• 标准离差率