芝諾悖論
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芝諾悖論是古希臘哲學家（Philosopher/Philosophen/философ/φιλόσοφος）[1] [2] [3] [4]芝諾（Zeno of Elea）（盛年約在公元前464－前461年）提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由於被記錄在亞里斯多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於「存在」不動、是一的學說。這些悖論是芝諾反對存在運動的論證其中最著名的兩個是：「阿基里斯追烏龜」和「飛矢不動」。這些方法現在可以用微積分（無限）的概念解釋。
兩分法悖論
| “ | 運動是不可能的。由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。 | ” |
| ——芝諾 | ||
這裡的「運動」不是距離的概念，而是速度的概念。從A點到B點的運動不僅僅涉及到距離，並且涉及到時間。從A到B的運動如果發生在無限長的時間內，那麼悖論就為真，因為此時速度為0。
速度這個概念雖然可以被表示為距離除以時間，但是速度是一個自然界的固有概念，並不依賴於時間和距離。所以莊子的萬世不竭反倒成為一個真實的敘述，而不是悖論。
阿基里斯悖論
| “ | 動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。 | ” |
| ——亞里斯多德，物理學 VI:9, 239b15 | ||
常見的敘述為芝諾提出的追著烏龜的阿基里斯，本悖論因此得其名。芝諾提出讓烏龜和阿基里斯賽跑，兩者起點不同，烏龜的起點位於阿基里斯身前1000米處，並且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍。比賽開始後，若阿基里斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然領先他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然領先他1米。芝諾認為，阿基里斯永遠無法追上烏龜[5]。
如柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。首先，巴門尼德編出這個悖論，用來嘲笑「數學派」所代表的畢達哥拉斯的「1>0.999...，1-0.999...>0」思想。然後，他又用這個悖論，嘲笑他的學生芝諾的「1=0.999...，但1-0.999...>0」思想。最後，芝諾用這個悖論，反過來嘲笑巴門尼德的「1-0.999...=0，或1-0.999...>0」思想。
悖論的解決
理論說得頭頭是道，但為何實際卻不是如此？原因見下。
不妨令阿基里斯步行的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m， 並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：
999 ÷ 10 = 99.9秒 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒 · · · · · ·
這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：
99.9, 0.999, 0.00999, · · · 求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒
所以其實阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。
換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在題目的背面－－小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的距離。
因此會得到無限的時間序列。
求極限值
追烏龜亦涉及到極限是否存在的問題。譬如說，阿基里斯的速度改為10m/s，烏龜的速度是1m/s，烏龜原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為。
其一，關於極限這個無限過程的意義，涉及到實無限與潛無限（potential infinity）的討論。潛無限的性質是無限過程無法完成，故上述級數雖然能無限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表烏龜被追上的時間。在潛無限的框架下，可以假設空間無法無限分割，如此一來此悖論就不存在了。但實無限的理論是，無限過程可以完成，即逼近的過程與其極限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的實數，極限，微積分都建立在實無限上。對潛無限來說，實數，極限等都不成立，只能無限逼近。
其二，關於要如何找到該無限過程的極限，歐拉曾提出「」之證明如下：
- 令
- 則
- 兩式相減可得：
- 故
歐拉一生中曾多次在其理論中進行這類極限的運算，然而他未能解釋極限的存在性與加減乘除等運算，可謂有著邏輯上的漏洞。而近代數學的極限、實數等概念正能填其邏輯漏洞。
飛矢不動悖論
| “ | 一支飛行的箭是靜止的。由於每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處於運動狀態。 | ” |
| ——芝諾 | ||
但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態。
這個悖論的問題在於，「飛行」的運動，是依賴於兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。
另外，中國古代的名家惠施也提出過，「飛鳥之景，未嘗動也」的類似說法。
遊行隊伍悖論
首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）裡，相對於觀眾席Ａ，列隊Ｂ、Ｃ將分別各向右和左移動一個距離單位。
- ＡＡＡＡ 觀眾席Ａ
- ＢＢＢＢ 隊列Ｂ・・・向右移動（→）
- ＣＣＣＣ 隊列Ｃ・・・向左移動（←）
Ｂ、Ｃ兩個列隊開始移動，如下圖所示相對於觀眾席Ａ，Ｂ和Ｃ分別向右和左各移動了一個距離單位。
- ＡＡＡＡ
- ＢＢＢＢ
- ＣＣＣＣ
而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）裡移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位裡移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。
（四個悖論的敘述引自莫里斯·克萊因《古今數學思想》中譯本，Bill Smith對第四個悖論的原文作了修改以說得更清楚些。）
芝諾現象
在一個跟時間有關的系統中，如果牽涉到有限時間內，無限多次的操作，我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法，是直接假設停止的時間點，只考慮反彈，不去考慮無窮多次，以計算無窮多次反彈之後的結果。
相關條目
參考文獻
- ^ Zenon von Elea. www.finden.ovh. [2018-03-30]. （原始內容存檔於2018-03-30）.
- ^ Ζήνων ο Ελεάτης. greek_greek.enacademic.com.
- ^ Апории Зенона Элейского. rushist.com ,Русская историческая библиотека.
- ^ Ζήνων ο Ελεάτης. Lexicon: post Ludolphum Kusterum ad codices manuscriptos. K - Psi,Suda - 1834.
- ^ 阿基里斯追乌龟.