分离态射

在数学中，分离态射是概形间一类具良好几何性质的态射，由此可定义分离概形。在亚历山大·格罗滕迪克的著作中，原将一般的概形称作预概形（préschéma），而将分离概形称作概形；1967年左右改称现名。

定义

设 $X,S$ 为概形。一个态射 $f:X\rightarrow S$ 被称作分离态射，若且唯若它所给出的对角映射 $\Delta :X\rightarrow X\times _{S}X$ 是闭浸入。

由此可定义 $S$ 上的分离概形。若取 $S$ 为终对象 $\mathrm {Spec} \mathbb {Z}$ ，可定义绝对的分离概形。

性质探讨

从分离性可推出：设 $X\rightarrow S$ 分离，对任何 $\mathbf {Sch} _{/S}$ 里的态射 $f,g:Y\rightarrow X$ ，若 $f$ 与 $g$ 在一个稠密开集上相等，则 $f=g$ 。准此，可视分离概形为豪斯多夫空间在概形论里的推广。

根据定义，分离性仅与拓扑有关： $f:X\rightarrow S$ 分离若且唯若 $f_{\mathrm {red} }:X_{\mathrm {red} }\rightarrow Y_{\mathrm {red} }$ 分离。群概形都是分离的（考虑映射 $(x,y)\mapsto x^{-1}y$ ）。此外；仿射概形皆属分离概形。

另一个有用的性质是：若 $S$ 是仿射概形， $X$ 是 $S$ 上的分离概形，且 $U,V\subset X$ 是仿射开集，则 $U\cap V$ 亦是仿射开集。

下述常见态射都是分离的：

概形间的单射（包括开浸入与闭浸入）都是分离态射
分离态射的合成仍是分离态射
分离态射换底后仍是分离态射
若 $f:X\rightarrow Y,g:X'\rightarrow Y'$ 是分离态射，其积 $f\times _{S}g:X\times _{S}X'\rightarrow Y\times _{S}Y'$ 亦然。
若 $g\circ f$ 是分离态射，则 $f$ 是分离态射。
射影态射是分离态射

于是乎拟射影态射都是分离的，这涵盖了经典代数几何里的所有对象。但在概形论中，我们可透过黏合造出非分离概形；研究函子的可表性时（特别是模空间的研究）亦须仔细处理分离性。

赋值判准

分离性与豪斯多夫性质的类比给出另一种刻划。设所论概形都是局部诺特概形。仅须处理 $Y$ 是一维时的情形，透过一些代数的论证，可化约到 $Y=\mathrm {Spec} (R)$ ，其中 $R$ 是个离散赋值环之情形；此时态射的唯一延拓性译为下述陈述：

设

X,Y

都是局部诺特概形，

f:X\rightarrow Y

是局部有限型态射，下述陈述等价：

$f$ 是分离态射。
对任何形如 $Y':=\mathrm {Spec} (R)$ 的 $Y$ -概形，其中 $R$ 是离散赋值环，设 $K$ 为 $R$ 的分式环；若两个 $Y$ -态射 $f,g:Y'\rightarrow X$ 拉回至 $\mathrm {Spec} (K)$ 相等，则有 $f=g$ 。

文献

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228 [2020-12-21]. （原始内容存档于2016-03-06）.
Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222 [2020-12-21]. （原始内容存档于2017-01-12）.