泊松括號

在數學及傳統力學中,泊松括號是哈密顿力學重要的運算,是哈密頓表述的動力系統中時間推移的定義。因Siméon-Denis Poisson而命名。

定義

泊松括號是雙線性映射把兩個在辛流形(symplectic manifold)中可微分的函數映射到一个函數。具体来讲，如果我们有两个函数f和g, 则

$\{f,g\}={\tilde {\omega }}(df,dg)$

這裡的 ω 是辛形式(symplectic form), ${\tilde {\omega }}$是双向量，使得若把 ω 看成為從向量到微分形式的映射, ${\tilde {\omega }}$ 则是从微分形式到向量的线性映射，对所有微分形式 α满足$\omega ({\tilde {\omega }}(\alpha ))=\alpha$,这里d表示外导数. 双向量 ${\tilde {\omega }}$ 有时称为辛流形上的泊松結構。

正則座標

在相空间里，用正則座標 $(q^{i},p_{j})$ ，两个函数$f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 的泊松括號記作:

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}\right]$.

李代數

泊松括號符合反交換律。滿足雅戈比恒等式.这使得辛流形上的平滑函數空间成为無限維的李代數，以泊松括號为李括號.相应的李群是辛流形的辛同胚群(稱為正則變換).

给定一个可微分的切丛上的向量场 X, 令$P_{X}$为其共轭动量(conjugate momentum). 这个从场到共轭动量的映射为李代數 从泊松括號到李括號的反同态(anti-homomorphism):

$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}\,$。

这个重要结构值得我们给个简短证明. 记组态空间的q点的向量场X为

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

其中$\partial /\partial q^{i}$ 是局部坐标系. X的共轭动量的表达式为

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

这里$p_{i}$为和坐标共轭的动量函数. 这样就有,对相空间的每点$(q,p)$,

$\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)=\sum _{i}\sum _{j}\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\}$

$=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}$

$=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)$

$=-P_{[X,Y]}(q,p)\,$

以上对所有$(q,p)$成立,证毕.

時間演變

辛流形上的函数f的随时间的演变可以辛同胚的单参数族的形式给出,时间t就是那个参数.对时间的全微分如下

${\frac {d}{dt}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\{\,f,H\,\}={\frac {\partial }{\partial t}}f-\{\,H,f\,\}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\,\}\right)f.$

这里的H是一个用作该系统的哈密顿量的函数。

泊松代數

• 泊松代數

參考

• 超泊松代數
• 超泊松括號